• Introducción
• Objectivos
• Conocimientos previos
• Números complejos
• Forma binómica
• Representación. Plano complejo
• Operaciones en forma binómica
• Forma polar
• Operaciones en forma polar
• Ecuaciones de circunferencias
• Funciones complejas
• Funciones de variable compleja
• Funciones polinómicas
• Funciones exponenciales
• Funciones trigonométricas
• Derivación e integración
• Límites
• Derivación
• Integración. Primitivas
• Integral de línea
• Métodos
• Transformada de Fourier
• Transformada de Fourier
• Resumen
• Resumen
• Autoevaluación
• Enunciados
• Soluciones

Ejercicios

1. Pasad a forma polar y operad: $\frac{1+i}{1-i},\frac{i\sqrt{3}}{4},\frac{3\sqrt{2}+2i}{-1\sqrt{2}-2i}$. Haced cálculos a mano y después comprobad los resultados con la Wiris.

2. Dados los números
   $z_1=3\left(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4}\right)$,
   $z_2=\sqrt{2}\left(cos\frac{\pi }{5}+isin\frac{\pi }{5}\right)$,
   $z_3=10\left(cos10+isin10\right),z_4=cos0.5+isin0.5$.

   Haced lo siguiente con y sin sofware:

   • Pasadlos a forma binómica.
   • Calculad en forma polar ${\left(z_1\right)}^3,{\left(z_4\right)}^5$.
   • Calculad en forma binómica $z_1+z_2,$ $z_3{z}_4$.

3. Hallad todas las raíces $\sqrt{4j}$, $\sqrt[3]{-8j}$, $\sqrt[4]{-1}$, $\sqrt[5]{1-i}$, $\sqrt[6]{64}$, $\sqrt[7]{1}$, $\sqrt[8]{i}$.

   Representadlas gráficamente.

4. Haced una representación gráfica en el plano complejo de los conjuntos siguientes de números complejos:

   • $\left|z\right|<7$,
   • $\left|z-2i\right|=3$,
   • $2<\left|z\right|<4$.

5. Calculad a mano y comprobad después con la Wiris:

   $cos\left(1+i\right)$, $sin\left(3i\right)$, $cos\left(\pi -\pi j\right)$ i $sin\left(3+2j\right)$.

6. Comprobad la fórmula de Euler $e^{iy}=cosy+isiny$ para diferentes valores (con Wiris).

7. Pasad a forma exponencial: $3-2i$, $3\pi i$, $-2$ i $\frac{\sqrt{2}-2j}{1+j\sqrt{2}}$.

8. Comprobad que $e^{\pi i/2}=i$, $e^{-\pi i/2}=-i$, $e^{\pi i}=-1$ y $e^{-\pi i}=-1$.

9. Hallad la transformada de Fourier de las funciones:

   • $e^z=3-4i$,
   • $e^z=3i$.

10. Estudiad la derivabilidad de las funciones siguientes:

    • $f\left(z\right)=z^2$,
    • $f\left(x+yi\right)=3x-7yi$, i
    • $f\left(z\right)=\frac{1}{z}$.

11. Hallad el valor de la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

    • $sin\left(z^2+1\right)$ en $z=1-i$,
    • $e^{1/z^2}$ en $z=\pi i$,
    • $\frac{1+z}{1-z^2}$ en $z=-i$.

12. Hallad las integrales indefinidas (primitivas) de las funciones:

    $f\left(z\right)=e^{z/3}$, $g\left(z\right)=sin\left(2z+3\right)$ i $h\left(z\right)=z^2+3z+1$.

13. Calculad las integrales siguientes definidas con el método con cálculo de primitiva:

    • ${\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^1\left(z^3+2z+i\right)dz$,
    • ${\int \; <!--nolimits-->}_{-\pi i}^{3\pi i}sinzdz$,
    • ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{1+i}{e}^{2z+2i}dz$.

14. Calculad ${\int \; <!--nolimits-->}_{C}f\left(z\right)dz$ para las funciones siguientes:

    • $f\left(z\right)=2z+3$, $C$ la circunferencia unitaria,
    • $f\left(z\right)=e^{3z+1}$, $C$ el segmento vertical de 0 a $\pi i$,
    • $f\left(z\right)=cos\left(z+i\right),$ $C$ el segmento que va de $1+i$ a $3+5i$.

15. Hallad la transformada de Fourier de las funciones:

    • $f\left(t\right)=e^{-3t+3}$ si $0<t<1$.
    • $x\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\hfill 6\hfill & \hfill \mathrm{si}-2<t<3\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{de\; lo\; contrario}.\hfill \end{array}\right.$

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