Les funcions polinòmiques són totes funcions contínues, com és fàcil deduir-ne de les gràfiques. En canvi, les funcions racionals tenen discontinuïtats en aquells punts en què s'anul·la el denominador, com ja havíem vist en algun exemple anterior. Bàsicament, poden tenir dos tipus de discontinuïtats:

1. Discontinuïtat evitable: es dóna quan el numerador i el denominador de la funció tenen una mateixa arrel. En aquest cas, no existeix la funció en l'arrel (perquè el denominador és $0$), però sí que existeix el límit de la funció en aquest valor.

   Per exemple, el numerador i el denominador de la la funció

   $f(x)=\frac{3x^3-18x^2+33x-18}{x^2+x-2.}$

   tenen com a arrel $x=1$ i, per tant, $f\left(1\right)$ no existeix (hi hauria un $0$ en el denominador). En canvi, el límit per la dreta i per l'esquerra de la funció sí que existeix, com pot veure's en aquest gràfic:

   L'únic punt problemàtic en un entorn de $x=1$ és aquest mateix punt, ja que no existeix la funció (per això hem posat un punt en blanc). Però en aproximar-nos per l'esquerra i per la dreta a aquest punt, la funció tendeix clarament a $2$. Això és així perquè, si descomponem i simplifiquem la funció

   $f(x)=\frac{3(x-3)(x-2)(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{3(x-3)(x-2)}{x+2}$

   "desapareix" la discontinuïtat en el punt $x=1$. Per això mateix, aquest tipus de discontinuïtat es denomina "evitable", perquè és molt senzill eliminar-la simplificant l'expressió de la funció. En qualsevol cas, cal destacar que ambdues funcions, l'original i la simplificada, no són idèntiques, ja que en un cas té una discontinuïtat en $x=1$, que la simplificada no té.

2. Discontinuïtat asímptòtica: aquest tipus de discontinuïtat es dóna quan la funció tendeix a infinit en un punt, tant quan ens acostem al punt per la dreta, com si ho fem per l'esquerra. En el cas de la funció anterior, en el punt $x=-2$, té una discontinuïtat asímptòtica. Per exemple, si desplacem el punt de l'eix $X\text{,}B$, cap a $-2$ , observarem que la imatge d'aquest punt, representat per $E$, creix sense límit; en canvi, si desplacem el punt de l'eix $X\text{,}C$, cap a $-2$ , observarem que la imatge d'aquest punt, representat per G, decreix sense límit:

   és a dir, els límits per la dreta i per l'esquerra en el punt $x=-2$ són infinit:

   $\begin{array}{l}\underset{x\to -2^{-}}{lim}f(x)=-\infty \\ \\ \underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)=+\infty \end{array}$

   En aquest cas, la funció té una asímptota en la recta $x=-2$, perquè com més s'acosten els valors de la $x$ a $-2$ , més pròxima a la recta es troba la funció, com s'observa clarament en la gràfica anterior.

El material que s’enllaça a continuació mostra exemples concrets del que s’ha descrit en aquesta secció: