Les funcions definides per parts poden presentar discontinuïtats en els seus extrems, asimptòtiques i evitables, però també discontinuïtats de salt. Per exemple, aquesta és la gràfica de la funció

$f(x)=\{\begin{array}{cc}2x+2& x<-2\\ x^2-3& x\ge -2.\end{array}$

El punt $A=\; (-\mathrm{2,1})$ pertany a la gràfica, mentre que el punt $B=(-2,-2)$ no, i per això s'ha marcat en blanc. Els límits per la dreta i per l'esquerra de la funció existeixen, però no coincideixen; per tant, la funció no és contínua:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -2^{-}}{lim}f(x)=-2\\ \\ \underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)=1.\end{array}$

En aquesta situació en què els límits laterals són finits es diu que la funció presenta una discontinuïtat de salt.

Finalment, existeix un altre tipus de discontinuïtat, anomenada de 2a espècie, que es produeix quan els límits laterals són un de finit i l'altre d'infinit, o bé, quan algun no existeix. Per exemple, la funció $f(x)=sin\left(\frac{1}{x}\right)$, la representació de la qual és:

Desplaçant lentament el punt $A$ de l'eix $X$ cap a $0$, veiem que la seva imatge per la funció (punt $B$), no tendeix a cap valor concret, sinó que va oscil·lant sense parar entre $-1$ i $1$. Per això mateix, és impossible dibuixar amb precisió la gràfica d'aquesta funció en un entorn del $0$ (tal com pot observar-se en el gràfic).

El material que s’enllaça a continuació mostra exemples concrets del que s’ha descrit en aquesta secció: