El concepte de derivada és un dels més importants de l'anàlisi. La derivada d'una funció $f(x)$, en un punt $x_0$  del domini de la funció, es defineix de la manera següent:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$    equivalent a   $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}$

També pot expressar-se com (fent el senzill canvi $x=x_0+h$ ):

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Si aquest límit existeix, es diu que la funció és derivable en el punt $x_0$, i com es pot deduir de la definició, la derivada $f^{\prime }(x_0)$ dóna una idea de la velocitat amb què varia la funció en $x_0$.

L’exemple que segueix a continuació ofereix una interpretació geomètrica de la derivada en un punt, que confirma aquesta idea de la derivada de la funció en un punt, com la velocitat de variació en aquest punt. Es dibuixa la gràfica d’una funció, $f(x)$ i s’hi situa un punt $B=(x_0,f(x_0))$ sobre la gràfica (En aquest exemple, es considera $B=(\mathrm{3,}f(3))$:

Per a calcular la derivada de la funció en aquest punt $B$ convé dibuixar un altre punt qualsevol $A=(x,f(x))$ a sobre de la gràfica de la funció. En aquest cas, es pren $A=(\mathrm{8,}f(8))$. Per a la definició de derivada, s’ha de buscar el límit quan $x\to 3$ del quocient $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-g{x}_0}$ $=$ $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$, en aquest cas.
En marcar sobre la gràfica de la funció els valors de $x=8$, $x=3$, $f(x)=f(8)$ i $f(x_0)=f(3)$ es forma un triangle rectangle, de catets $f(x)-f(x_0)=f(8)-f(3)$ i $x-x_0=8-3$, en aquest cas, i amb hipotenusa el segment $AB$. Aleshores, el quocient $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ determina la tangent de l’angle $\alpha$, que equival al pendent de la recta que passa pels punts $A\text{i}B$. Això és així perquè el pendent és igual a la tangent de l’angle que forma aquesta recta amb l’eix $X$, essent $\alpha$ aquest angle. Aleshores, en acostar-se el valor de $x$ (que en aquest exemple és $8$) cap a $x_0=3$ (per a veure-ho en l’applet, cal moure el punt vermell), la recta que passa per $A$ i per $B$ tendeix a la recta tangent a la funció en el punt $B$. Així, doncs, el límit que defineix la derivada en $x$ és el pendent de la recta tangent en aquest punt. En altres paraules, és la tangent de l’angle que forma aquesta recta amb l’eix $X$, i a la qual tendeix la tangent de l’angle $\alpha$.

L’applet permet visualitzar aquesta interpretació de la derivada en altres funcions. Per a modificar la funció, sols cal desplaçar el punt negre del segment que apareix a la part superior de l’applet. En tots els casos, la definició de derivada s’aplica de la mateixa manera, en el mateix punt $B=(\mathrm{3,}f(3))$. Es pot observar que la derivada pot ser tant un nombre positiu, com un nombre negatiu.

En general, les funcions estudiades fins al moment es poden derivar en tots els seus punts del seu domini. Donada una funció $f(x)$, la seva derivada es designa per $f^{\prime }(x)$ i fa correspondre a cada valor del seu domini, $\text{Dom}\left(f\right)$, la derivada de la funció en aquest valor (sempre que aquesta existeixi, fet que succeeix en la majoria dels casos estudiats). Una funció derivada pot, al seu torn, tornar-se a derivar. Amb això, s’obté la segona derivada de la funció $f(x)$, que es denota per $f^{″}(x)$. El procés de derivació pot repetir-se indefinidament. Quan això és possible, es pot parlar de la derivada enèsima de la funció, que es designa per $f^{n)}(x)$.