El fet que la derivada d'una funció en un punt sigui zero, no sempre indica que la funció tingui un extrem en aquest punt. El que segueix a continuació mostra com la derivada de la funció $f(x)$ s'anul·la en $x=2$, però que la funció no té un extrem en aquest punt, ja que sempre és creixent (de fet, la derivada sempre és positiva, excepte en $x=2$ ). Per tant, encara que en la majoria dels casos és cert, no sempre un zero de la derivada correspon a un extrem de la funció. També pot assenyalar un punt d'inflexió, com en aquest cas.

Un punt d'inflexió es caracteritza pel fet que la tangent a la funció en aquest punt no només toca la funció, sinó que la parteix en dues, tal com succeeix en el punt $x=2$ . Dit de manera més tècnica, en el punt d'inflexió, la funció canvia la seva concavitat, passa de còncava a convexa, o de convexa a còncava:

• Una funció és còncava en un punt quan la funció cau per sota de la tangent en aquest punt. En l'exemple, pot comprovar-se que la funció en $x=0$ és còncava.
• Una funció és convexa en un punt quan la funció cau per sobre de la tangent en aquest punt. En l'exemple, pot comprovar-se que la funció en $x=4$ és convexa.

És clar, doncs, que en $x=2$, la funció canvia la seva concavitat en particular, en aquest punt la funció passa de còncava a convexa.

En qualsevol cas, la condició requerida perquè una funció tingui un punt d'inflexió és que la seva segona derivada en aquest punt sigui $0$. Aixé es pot comprovar en el gràfic anterior, en la segona derivada que, en $x=2$ verifica $f^{″}(2)=0$ .

En qualsevol cas, no és necessari que la primera derivada també sigui $0$ perquè la funció tingui un punt d'inflexió. L'applet que segueix a continuació mostra la gràfica d'una funció que té un punt d'inflexió en $x=1$ , però la primera derivada en aquest punt no és zero, mentre que la segona derivada sí que ho és.

Es resumeixen, a continuació les característiques més importants de les funcions que poden desvetllar-se a través de les seves derivades:

• Si la segona derivada de la funció és diferent de $0$ en un punt, si la primera derivada en aquest punt és $0$, la funció té en aquest punt un:
  • mínim, si la segona derivada en el punt és positiva.
  • màxim, si la segona derivada en el punt és negativa.
• Si la tercera derivada de la funció és diferent de $0$ en un punt, i la segona derivada en aquest punt és $0$, la funció té en aquest punt un punt d'inflexió.

Ara bé, quan la derivada següent de la que és $0$ també és $0$ en el mateix punt, han de mirar-se les derivades successives (la tercera i la quarta, en el primer cas; i la quarta i la cinquena, en el segon cas; i així successivament).

El material que s'enllaça a continuació mostra exemples concrets del que s'ha descrit en aquesta secció: