activitat

Donada la funció $f (x) = x^{2} + x$ calcula, utilitzant la definició de derivada (és a dir, la definició a partir del càlcul d'un límit),

a. La derivada de la funció en el punt d'abscissa $2$

b. La derivada en un punt qualsevol, $a$ (prova que existeix la derivada en qualsevol punt).

c. La funció derivada de $f$ .

d. L'equació de la recta tangent a la funció en el punt $(1, 2)$ .

Mostra/amaga la solució

a. $lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{2} + 2 + h - ({(2)}^{2} + 2)}{h} = 5$

b. $lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{{(a + h)}^{2} + a + h - {( (a)}^{2} + a)}{h} = 2 a + 1$

c. $f' (x) = 2 x + 1$

d. L'equació de la recta tangent a la funció en el punt $(1, 2)$ s'obté sabent que el seu pendent és f'(x), i que passa per $(1, 2)$ :
$y - f (1) = f' (1) (x - 1)$ , és a dir,
$y - 2 = 3 (x - 1)$
$y = 3 x - 1$