La integral definida d'una funció, $f(x)$ , entre dos punts, $a$  i  $b$ , és l'àrea (tenint en compte el signe, és a dir, si la funció és negativa, l'àrea serà negativa) que es tanca entre la funció, aquests dos punts i l'eix X, i s'expressa així: ${\int }_a^{b}f(x)dx$ .

Per a calcular aquesta integral es pot aproximar aquesta àrea per dos valors, un de superior i l'altre inferior. Podem dividir l'interval $[a,b]$  en $n$  valors equidistants, $x_1=a,x_2\mathrm{...}{x}_n=b$ , i calcular en cada petit interval, $[x_i,x_{i+1}]$ , el màxim i el mínim de la funció, que denominarem $M_i$  i $m_i$ , llavors podrem assegurar que la integral definida entre $a$  i  $b$  és un valor entre entre aquestes dues sumes, la primera denominada suma inferior, i la segona suma superior:

$\sum _{i=1}^{n-1}{m}_i(x_{i+1}-xi)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \sum _{i=1}^{n-1}{M}_i(x_{i+1}-xi)$

Gràficament és molt senzill de comprovar: en el cas més senzill, $n=2$ , la suma inferior resulta de multiplicar el mínim de la funció en tot l'interval per la diferència $b-a$ , el resultat de la qual és l'àrea d'aquest rectangle, que sens dubte és inferior (podria ser igual) al valor de la integral definida. Quan $n=3$  l'interval $[a,b]$  es divideix en dos intervals més petits, i la suma inferior corresponent és igual a la suma d'aquests dos rectangles. Si augmentem el valor de $n$  $(n=4\text{,}n=5\text{,}n=10\text{i}n=50)$, observem que el valor de la suma inferior és sempre menor que el valor de la integral definida, però pot intuir-se que cada vegada són més properes.

En canvi, en el cas més senzill, $n=2$ , la suma superior resulta de multiplicar el màxim de la funció en tot l'interval per $b-a$ . El seu resultat és l'àrea d'aquest rectangle, que sens dubte és superior (podria ser igual) al valor de la integral definida. Quan $n=3$  l'interval $[a,b]$  es divideix en dos intervals més petits, i la suma superior corresponent és igual a la suma d'aquests dos rectangles. Si augmentem el valor de $n$  $(n=4\text{,}n=5\text{,}n=10\text{i}n=50)$, observem que el valor de la suma superior és sempre major que el valor de la integral definida, però pot intuir-se que cada vegada són més propers.

Pots comprovar aquesta desigualtat en l'applet, activant les caselles de la suma superior i suma inferior, i modificant els parŕmetres a i b de la funció $f$.

Després de mostrar que les desigualtats anteriors són correctes, si el límit quan $n$  tendeix a $\infty$  d'aquestes dues sumes coincideix, llavors resulta evident que:

$\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{n-1}{m}_i(x_{i+1}-x_i)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{n-1}{M}_i(x_{i+1}-x_i)$