Els exemples de diversos sistemes d’equacions que s’han vist fins ara tenen tots una única solució. Però habitualment, poden donar-se altres situacions. La classificació general dels sistemes d’equacions, segons el nombre de solucions, és la següent:

• Si té solució, es denomina sistema compatible:
  • Si la solució és única, el sistema és compatible determinat.
  • Si la solucíó no és única, el sistema és compatible indeterminat.
• Si no té solució, es denomina sistema incompatible.

El mètode de Gauss permet reconèixer quin tipus de sistema és. Un sistema compatible determinat és molt senzill de reconèixer, perquè es troba directament la solució. El sistema incompatible també és fàcil de reconèixer, perquè en algun moment de la resolució, alguna de les equacions resultants és una expressió impossible, del tipus $0=3$, $0=-4$, és a dir, el $0$ igual a una altre nombre, un resultat impossible, cosa que ens indica que el sistema és incompatible.

Si la resolució del sistema no condueix ni a un sistema compatible determinat ni a un sistema incompatible el sistema serà un sistema compatible indeterminat. En aquest cas ens podem trobar que inicialment tenim més incògnites que equacions i, per tant, serà impossible trobar una única solució o bé que, en algun moment de la resolució, arribarem a una equació trivial del tipus $0=0$, que, evidentment, hauríem d'eliminar perquè no aporta cap informació addicional. Vegem-ne un exemple,

$\{\begin{array}{l}x+2y-3z=16\\ 6x-y-18z=-8\\ -4x+3y+12z=24.\end{array}$

Després d'aplicar Gauss resulta:

$\{\begin{array}{l}x+2y-3z=16\\ -13y=-104\\ 0=0.\end{array}$

Hem d'eliminar l'última expressió, que no aporta cap informació, i associar, per exemple, l'última variable a un valor $a$; i després desplaçar-lo a l'altre membre de la igualtat. És a dir, si $z=a$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=16+3a\\ -13y=-104.\end{array}$

Queda, doncs un sistema de dues equacions amb dues incògnites, que conté una valor $a$ indeterminat. I per tant el sistema tindrà infinites solucions que dependran del valor $a$. Podem escriure la solució com $x=3a$, $y=8$ i $z=a$. Per a $a=1$, tindrem una solució; per a $a=-2.5$, tindrem una altra solució, etc. Així, doncs, el sistema tindrà infinites solucions, una per a cadascun dels valors possibles de $a$.

El material que s’enllaça a continuació mostra exemples concrets del que s’ha descrit en aquesta secció: