En substituir la variable del polinomi per un nombre s'obté una expressió numèrica, el resultat de la qual és el valor numèric del polinomi en aquest punt. Per exemple, donat el polinomi $p\left(x\right)=5x^3-4x^2+5x-1$, el valor del polinomi quan $x=1$, és $p\; (1)=5·1^3-4·1^2+5·1-1=5$. Aleshores, es diu que el valor del polinomi $p$ en el punt $1$ és $5$, i s’escriu $p\left(1\right)=5$.

El teorema del residu és un resultat interessant que relaciona el valor numèric d'un polinomi amb la divisió de polinomis. Afirma que en dividir un polinomi qualsevol $p\left(x\right)$ entre $x-a$, essent $a$ un nombre qualsevol, el residu d'aquesta divisió és precisament $p(a$) . Així, en el cas de l'exemple anterior, es pot assegurar que el residu de la divisió de $p\left(x\right)=5x^3-4x^2+5x-1$ entre $x-1$ és $p\left(1\right)=5$.

D'altra banda, resulta que un polinomi és divisible per un altre polinomi quan la divisió és exacta, és a dir, quan el residu de la divisió és $0$. Pel teorema del residu, es pot assegurar que un polinomi $p\left(x\right)$ és divisible per $x-a$, si $p(a)=0$. El valor $\mathrm{que}$ compleix aquesta condició s'anomena arrel del polinomi $p\left(x\right)$. Així, doncs, una arrel d'un polinomi $p\left(x\right)$ és un valor numèric que compleix que $p(a)=0$.

El teorema del residu permet afirmar que aquestes dues afirmacions són equivalents:

• $a$ és una arrel del polinomi $p\left(x\right)$.
• $p\left(x\right)$ és divisible entre $x-a$.

Per exemple, el polinomi $p\left(x\right)=x^2-1$ té una arrel $x=1$, ja que $p\left(1\right)=0$. Així, doncs, pot assegurar-se que aquest polinomi és divisible entre $x-1$. De la mateixa manera, aquest polinomi té una altra arrel $x=-1$, ja que $p(-1)=0$. Així, doncs, pot assegurar-se que aquest polinomi també és divisible entre $x-(-1)$, és a dir, entre $x+1$. Atès que $p\left(x\right)=x^2-1$ és divisible entre $x-1$, la divisió ha de tenir residu 0. En fer la divisió, s’obté:

$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$

de manera que, en passar el denominador a l’altre membre, esdevé: $p\left(x\right)=x^2-1=(x+1)(x-1)$.

Es parla d’arrel doble quan una arrel apareix exactament dues vegades en la llista d’arrels d’un polinomi. Per exemple, $q(x)={(x+1)}^2$ té una arrel doble, que és $\text{-1}$. Així, si un polinomi té una arrel doble $a$, significa que el polinomi és divisible per ${(x-a)}^2$.

El material que s’enllaça a continuació mostra exemples concrets del que s’ha descrit en aquesta secció: