Les operacions bàsiques entre matrius són:

La suma i la resta

La suma de dues matrius és una altra matriu, i cadascun dels seus elements és igual a la suma dels elements de les dues matrius anteriors amb els mateixos subíndexs. Evidentment, la suma solament pot realitzar-se entre matrius de la mateixa dimensió, i el seu resultat també tindrà idèntica dimensió. Per exemple, donades aquestes matrius

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 1& -2\\ 1& 3& 1\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -3\\ 2& 0& -1\\ 3& 4& 2\end{array}\right)$ $C=\left(\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 2& \hfill -2\\ \hfill -1& \hfill 6& \hfill -1\end{array}\right)$

La sumes $\mathrm{A\; +}C$ i $B+C$ no poden realitzar-se perquè són matrius de diferent dimensió. En canvi, sí que és possible sumar $\mathrm{A\; +}B$, d'aquesta manera:

La resta entre matrius es realitza de manera similar, tenint en compte que en lloc de sumar els elements de les matrius, es resten.

El producte d'un nombre per una matriu

Per a realitzar el producte d'un nombre per una matriu només cal multiplicar cada element d'aquesta matriu pel nombre. Per exemple, seguint amb la mateixa matriu $A$, si la multipliquem per $3$, aquest és el resultat:

$3A\mathrm{=\; 3}·\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 1& -2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3·1& 3·2& 3·(-3)\\ 3·2& 3·1& 3·(-2)\\ 3·(-1)& 3·3& 3·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 6& -9\\ 6& 3& -6\\ -3& 9& 3\end{array}\right)$

El producte de dues matrius

No ha de confondre's aquest producte amb l'anterior. Per a multiplicar dues matrius ha de tenir-se en compte el següent:

• El nombre de columnes de la primera matriu ha de coincidir amb el nombre de files de la segona matriu.
• La matriu resultant tindrà tantes files com la primera, i tantes columnes com la segona.

Aquesta seqüència mostra com cal realitzar el producte $C·A$ (el símbol de la multiplicació pot ser, indistintament, $·$, o bé, ×):

El producte de matrius té les següents propietats:

1. Associativa: $A\times B\times C=A\times \left(B\times C\right)=\left(A\times B\right)\times C$

2. L'element neutre del producte de matrius és la matriu identitat, $I_n$. És a dir, si $A$ és una matriu quadrada $n\times n$, $A\times I_n=I_n\times A=A$.

3. De vegades (encara que no sempre), existeixen matrius quadrades que tenen element invers. Aquesta matriu, quan existeix, es denomina inversa; també es diu que la matriu $A$ és invertible. La matriu inversa d'una matriu quadrada de dimensió $n\times n\mathrm{ A}$, s'indica $A^{\mathrm{-1}}$, i compleix:

$A\times A^{\mathrm{-1}}=A^{\mathrm{-1}}\times A=I_n$

4. En general, el producte de matrius no és commutatiu. És a dir, si $A$ i $B$ són dues matrius, quan poden realitzar-se els productes $A\times B$ i $B\times A$, generalment:

$A\times B\ne B\times A$

encara que en algunes, molt poques, ocasions, pot ser igual. En el cas de l'exemple anterior, no pot realitzar-se $A\times C$, ja que $A$ té $3$ columnes, mentre que $C$ només té $2$ files.