Cada matriu quadrada pot associar-se a un nombre que és de gran ajuda. Aquest nombre es denomina determinant de la matriu. Per a indicar el determinant d'una matriu es col·loquen els seus elements entre dos segments verticals, i no entre parèntesis. Per exemple, el determinant de la matriu $A$ s'indica com segueix:

A = ( 1 2 − 3 2 1 − 2 − 1 3 1 ) → el seu determinant s'indica així ∣ 1 2 − 3 2 1 − 2 − 1 3 1 ∣

També pot indicar-se d'aquesta altra manera: $\det \left(A\right)$.

Es definirà el determinant de manera recursiva, és a dir, primer per a matrius de dimensió $1\times 1$, a continuació per a matrius de dimensió $2\times 2$, i així successivament.

El determinant d'una matriu $1\times 1$ és igual al nombre que compon la matriu. Per exemple, si $A=\left(3\right)\det \left(A\right)=\left|3\right|=3$

El determinant d'una matriu $2\times 2$ és igual al producte dels elements de la diagonal menys el producte dels altres dos elements. Per exemple,

si A = ( 1 − 1 2 4 ) aleshores, $\det \left(A\right)=\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 4\end{array}\mid =1·4-(-1)·2=6$

El determinant d'una matriu $3\times 3$ es calcula d'aquesta manera:

$\mid \begin{array}{rrr}\hfill a_{11}& \hfill a_{12}& \hfill a_{13}\\ \hfill a_{21}& \hfill a_{22}& \hfill a_{23}\\ \hfill a_{31}& \hfill a_{32}& \hfill a_{33}\end{array}\mid =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{21}{a}_{13}{a}_{32}-a_{31}{a}_{22}{a}_{13}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$

En l'exemple anterior, el determinant de $A$ és igual a:

∣ 1 2 − 3 2 1 − 2 − 1 3 1 ∣ = 1 · 1 · 1 + 2 · ( − 2 ) · ( − 1 ) + 2 · ( − 3 ) · 3 − ( − 1 ) · 1 · ( − 3 ) − 2 · 2 · 1 − 1 ( − 2 ) · 3 = − 14

Per a calcular el determinant de matrius de dimensió $4\times 4$, s'ha de descompondre el determinant de la següent manera:

∣ a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ∣ = a 11 ∣ a 22 a 23 a 24 a 32 a 33 a 34 a 42 a 43 a 44 ∣ − a 21 ∣ a 12 a 13 a 14 a 32 a 33 a 34 a 42 a 43 a 44 ∣ + a 31 ∣ a 12 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24 a 42 a 43 a 44 ∣ − a 41 ∣ a 12 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24 a 32 a 33 a 34 ∣

És a dir, es tracta de multiplicar cada element de la primera columna pel determinant de la matriu $3\times 3$ que resulta d'eliminar la fila $i$ la columna corresponent a aquest element.

El determinant que resulta d'eliminar la fila $i$ i la columna $j$ s'anomena menor complementari de l'element $a_{ij}$, i s'indica ${\alpha }_{ij}$ (α, alfa, és la primera lletra de l'alfabet grec). Per exemple, en el cas de la matriu $4\times 4$ anterior, el menor complementari de ${\alpha }_{31}$ és

α 31 = ∣ a 12 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24 a 42 a 43 a 44 ∣

Així, doncs, l'expressió que calcula el determinant $4\times 4$ pot simplificar-se més:

$\mid \begin{array}{rrrr}\hfill a_{11}& \hfill a_{12}& \hfill a_{13}& \hfill a_{14}\\ \hfill a_{21}& \hfill a_{22}& \hfill a_{23}& \hfill a_{24}\\ \hfill a_{31}& \hfill a_{32}& \hfill a_{33}& \hfill a_{34}\\ \hfill a_{41}& \hfill a_{42}& \hfill a_{43}& \hfill a_{44}\end{array}\mid =a_{11}{\alpha }_{11}-a_{21}{\alpha }_{21}+a_{31}{\alpha }_{31}-a_{41}{\alpha }_{41}$

Per exemple, pot calcular-se aquest determinant seguint la fórmula anterior:

∣ 2 − 1 3 1 1 0 2 3 2 1 − 2 6 0 1 0 3 ∣ = 9

Per a calcular el determinant de qualsevol matriu quadrada se segueix el mateix procediment: es multiplica cada element de la primera columna pel seu menor complementari; a més, s'han d'alternar els signes, començant sempre pel signe $+$. És a dir:

$\mid \begin{array}{rrrrr}\hfill a_{11}& \hfill a_{12}& \hfill a_{13}& \hfill \cdots & \hfill a_{1n}\\ \hfill a_{21}& \hfill a_{22}& \hfill a_{23}& \hfill \cdots & \hfill a_{2n}\\ \hfill a_{31}& \hfill a_{32}& \hfill a_{33}& \hfill \cdots & \hfill a_{3n}\\ \hfill ⋮& \hfill ⋮& \hfill ⋮& \hfill \ddots & \hfill ⋮\\ \hfill a_{n1}& \hfill a_{n2}& \hfill a_{n3}& \hfill \mathrm{...}& \hfill a_{nn}\end{array}\mid =a_{11}{\alpha }_{11}-a_{21}{\alpha }_{21}+a_{31}{\alpha }_{31}+\mathrm{...}+{\left(\mathrm{-1}\right)}^{n+1}{a}_{n1}{\alpha }_{n1}$

El càlcul del determinant pot desenvolupar-se des de qualsevol columna (o fila) de la matriu.