Només les matrius quadrades poden tenir inversa. A més, la matriu ha de tenir un determinant diferent de $0$. Per a trobar la inversa d'una matriu s'ha de definir, primer, el concepte d'adjunt d'un element de la matriu: l'adjunt de l'element $a_{ij}$ de la matriu $A$ s'indica amb $A_{ij}$ i es defineix de la següent manera:

$A_{ij}={\left(\mathrm{-1}\right)}^{i+j}{\alpha }_{ij}$ si ${\alpha }_{ij}$ és el menor complementari de $a_{ij}$

Es pot observar que si $i+j$ és un nombre parell, $A_{ij}={\alpha }_{ij}$; en canvi, si $i+j$ és un nombre imparell, $A_{ij}={\mathrm{-\alpha }}_{ij}$. És a dir, el signe que ha de posar-se al davant del menor complementari per a obtenir l'element corresponent adjunt es regeix per la següent matriu de signes:

    $\left(\begin{array}{rrrrr}\hfill +& \hfill -& \hfill +& \hfill \cdots & \hfill \\ \hfill -& \hfill +& \hfill -& \hfill \cdots & \hfill \\ \hfill +& \hfill -& \hfill +& \hfill \cdots & \hfill \\ \hfill ⋮& \hfill ⋮& \hfill ⋮& \hfill \ddots & \hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill +\end{array}\right)$

Per exemple, l'adjunt de l'element $a_{34}$ ha de ser $A_{34}={\left(\mathrm{-1}\right)}^{3+4}{\alpha }_{34}={\alpha }_{34}$.

La matriu formada per tots els adjunts dels elements de la matriu $A$ es denomina matriu d'adjunts de $A$, i s'indica amb $A\text{'}$.

Una vegada trobada la matriu d'adjunts, és molt senzill de trobar la matriu inversa:

$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}{(A\text{'}\; )}^T$

Dit d'altra manera, la matriu inversa de $A$ és la matriu d'adjunts, transposada i dividida entre el valor del determinant de $A$. El determinant de $A$ ha de ser diferent de $0$; en cas contrari, la fórmula no pot aplicar-se.

Per exemple, si la matriu $A$ és $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 1& -2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)$, calculem la seva inversa:

Sabem que $\mid \begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 1& -2\\ -1& 3& 1\end{array}\mid =-14$

Calculem la matriu d'adjunts i la seva transposada:

$A\text{'}=\left(\begin{array}{ccc}7& 0& 7\\ -11& -2& -5\\ -1& -4& -3\end{array}\right)$ ${(A\text{'})}^T=\left(\begin{array}{ccc}7& -11& -1\\ 0& -2& -4\\ 7& -5& -3\end{array}\right)$

Per tant, la inversa de $A$ és:

$A^{-1}=\frac{-1}{14}\left(\begin{array}{ccc}7& -11& -1\\ 0& -2& -4\\ 7& -5& -3\end{array}\right)$

cosa que pot comprovar-se fàcilment:

$A·A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 1& -2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)·\frac{-1}{14}\left(\begin{array}{ccc}7& -11& -1\\ 0& -2& -4\\ 7& -5& -3\end{array}\right)=\frac{-1}{14}\left(\begin{array}{ccc}-14& 0& 0\\ 0& -14& 0\\ 0& 0& -14\end{array}\right)=I_{\mathrm{n}}$

De la mateixa manera pot comprovar-se fàcilment que $A^{\mathrm{-1}}·A=I_3$.

El material que s’enllaça a continuació mostra exemples concrets del que s’ha descrit en aquesta secció: