Un sistema d'equacions lineals pot expressar-se en forma matricial de la següent manera:

( a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 n a 21 a 22 a 23 ⋯ a 2 n a 31 a 32 a 33 ⋯ a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 a m 3 ... a m n ) ( x 1 x 2 x 3 ⋮ x n ) = ( b 1 b 2 b 3 ⋮ b m )

Això es denomina equació matricial, i pot expressar-se com $A·X·B$, si $X$ és una matriu $n\times 1$ formada per les variables, $A$ una matriu $m\times n$, i $B$ una matriu $m\times 1$. Els rangs de les matrius (el rang d'una matriu és el nombre de files o de columnes del menor més gran amb determinant diferent de $0$ $A$ i de la seva ampliada, $A^{*}$, ens permeten conèixer el nombre de solucions d'aquest sistema:

• El sistema té solució quan el rang de la matriu $A$ i el de la matriu ampliada són iguals: $\mathrm{rang}\left(A\right)=\mathrm{rang}\left(A^{*}\right)$. Poden donar-se els següents casos:
  • Si $\mathrm{rang}\left(A\right)=n$ la solució és única, és a dir, existeix una única matriu $n\times 1$ que compleix que $A·X·B$.
  • Si $\mathrm{rang}\left(A\right)<n$ la solució no és única; de fet, en aquest cas, el sistema té infinites solucions.

• El sistema no té solució si el rang de la matriu $A$ i el de la matriu ampliada són diferents, és a dir, si $\mathrm{rang}\left(A\right)\ne \mathrm{rang}\left(A^{*}\right)$

Per a trobar la solució en el cas que el sistema tingui solució única (és a dir, si es compleix que $\mathrm{rang}\left(A\right)=\mathrm{rang}\left(A^{*}\right)=n$, s'escull un menor d'ordre $n$ de la matriu $A$, el determinant del qual no sigui $0$ (i es denomina $\stackrel{-}{A}$ ) i s'escullen les files de $B$ que coincideixin amb les files del menor d'ordre $n$ escollit (aquestes files es denominen $\stackrel{-}{B}$ ). Per a resoldre el sistema $A·X=B$, n'hi ha prou de resoldre $\stackrel{-}{\mathrm{A\; ·}}X=\stackrel{-}{B}$. Ara bé, com $\stackrel{-}{A}$ és una matriu quadrada el determinant de la qual no és $0$, existeix la seva inversa. Per tant, podem fer multiplicar a banda i banda per ${\stackrel{-}{A}}^{-1}$:

A - − 1 · A · - X = A - − 1 · B -

Sabem que A - - 1 · A - = I n; per tant, la solució del sistema és

X = A - − 1 · B -

Per exemple, la solució del sistema:

{ x + y + z 2 x − 5 y − 2 z 3 x + 4 y + z = = = 0 − 2 8 2 x + 2 y + 2 z = 0 equivalent a ( 1 1 1 2 − 5 − 2 3 4 1 2 2 2 ) ( x y z ) = ( 0 − 2 8 0 )

és única perquè $\mathrm{rang}\left(A\right)=\mathrm{rang}\left(A^{*}\right)=3$. Per a resoldre el sistema s'ha d'escollir un menor d'ordre $3$ que no sigui $0$ (per exemple, les tres primeres files)

A - = ( 1 1 1 2 − 5 − 2 3 4 1 ) B - = ( 0 − 2 8 ) i la solució del sistema és X = A - − 1 · B -

A - − 1 = 1 18 ( 3 3 3 − 8 − 2 4 23 − 1 − 7 ) → X = 1 18 ( 3 3 3 − 8 − 2 4 23 − 1 − 7 ) ( 0 − 2 8 ) = ( 1 2 − 3 )

Així, doncs, $x=1$ $y=2$, $z=\mathrm{-3}$

En el cas que el $\mathrm{rang}\left(A\right)=\mathrm{rang}\left(A^{*}\right)=r<n$, s'ha de fer el mateix, però una vegada escollit el menor d'ordre $r$, s'ha de transformar el sistema d'equacions inicial, de manera que les incògnites que no corresponguin amb una columna del menor anterior han de situar-se a l'altre costat del signe igual. Així s'obtindrà un sistema amb $r$ incògnites, que podrà expressar-se en forma matricial. En aquest cas, també la $B$ contindrà alguna de les incògnites. Ara ja podrà resoldre's el nou sistema de la manera anterior (perquè es tracta d'un sistema amb $r$ incògnites, la matriu de la qual té rang $r$). Cal dir que la solució, en aquest cas, estarà donada en termes d'algunes de les incògnites i, per tant, la solució no serà única.

Per exemple, el sistema

$\{\begin{array}{c}x\\ \\ 3x\\ \end{array}\begin{array}{c}+\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}y\\ y\\ \\ -y\end{array}\begin{array}{c}+\\ -\\ +\\ +\end{array}\begin{array}{c}z\\ z\\ 6z\\ z\end{array}\begin{array}{c}-& +\\ -\\ -\end{array}\begin{array}{c}w\\ w\\ 6w\\ w\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{c}1\\ -1\\ 6\\ 1\end{array}$ es pot expressar ( 1 1 1 - 1 0 1 - 1 1 3 0 6 - 6 0 - 1 1 - 1 ) ( x y z w ) = ( 1 - 1 6 1 )

En aquest cas, $\mathrm{rang}\left(A\right)=\mathrm{rang}\left(A^{*}\right)=2<4$. Per tant, primer ha de modificar-se el sistema original:

$\{\begin{array}{c}x\\ \\ 3x\\ \end{array}\begin{array}{c}+\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}y\\ y\\ \\ -y\end{array}\begin{array}{c}+\\ -\\ +\\ +\end{array}\begin{array}{c}z\\ z\\ 6z\\ z\end{array}\begin{array}{c}-\\ +\\ -\\ -\end{array}\begin{array}{c}w\\ w\\ 6w\\ w\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{c}1\\ -1\\ 6\\ 1\end{array}\stackrel{}{\to }\{\begin{array}{c}x\\ \\ 3x\\ \end{array}\begin{array}{c}+\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}y\\ y\\ \\ -y\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{c}1\\ -1\\ 6\\ 1\end{array}\begin{array}{c}-\\ +\\ -\\ -\end{array}\begin{array}{c}z\\ z\\ 6z\\ z\end{array}\begin{array}{c}+\\ -\\ +\\ +\end{array}\begin{array}{c}w\\ w\\ 6w\\ w\end{array}$

que en forma matricial s'expressa així:

( 1 1 0 1 3 0 0 − 1 ) ( x y ) = ( 1 − − 1 + 6 − 1 − z z 6 z z + - + + w w 6 w w )

Si escollim un menor de rang $2$ obtenim:

( 1 1 0 1 ) ( x y ) = ( 1 − z + w − 1 + z − w )

i, per tant,

( x y ) = ( 1 1 0 1 ) − 1 ( 1 − z + w − 1 + z − w ) = ( 1 − 1 0 1 ) ( 1 − z + w − 1 + z − w ) = ( 2 − 2 z + 2 w − 1 + z − w )

El material que s’enllaça a continuació mostra exemples concrets del que s’ha descrit en aquesta secció: