Las funciones polinómicas son todas funciones continuas, como es fácil deducir de sus gráficas. En cambio, las funciones racionales tienen discontinuidades en aquellos puntos en los que se anula el denominador, como ya habíamos visto en algún ejemplo anterior. Básicamente pueden tener dos tipos de discontinuidades:

1. Discontinuidad evitable: se da cuando el numerador y el denominador de la función tienen una misma raíz. En este caso, no existe la función en la raíz (porque el denominador es $0$), pero sí que existe el límite de la función en este valor.

   Por ejemplo, el numerador y el denominador de la función

   $f(x)=\frac{3x^3-18x^2+33x-18}{x^2+x-2}$

   tienen como raíz $x=1$ y, por lo tanto, $f\left(1\right)$ no existe (habría un $0$ en el denominador). En cambio, el límite por la derecha y por la izquierda de la función sí que existe, como puede verse en este gráfico:

   El único punto problemático en un entorno de $x=1$ es este mismo punto, ya que no existe la función (por eso hemos puesto un punto en blanco). Pero al aproximarnos por la izquierda y por la derecha a este punto, la función tiende claramente a $2$. Esto es así porque, si descomponemos y simplificamos la función:

   $f(x)=\frac{3(x-3)(x-2)(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{3(x-3)(x-2)}{x+2}$

   "desaparece" la discontinuidad en el punto $x=1$. Por eso mismo, este tipo de discontinuidad se denomina "evitable", ya que es muy sencillo eliminarla simplificando la expresión de la función. En cualquier caso, cabe destacar que ambas funciones, la original y la simplificada, no son idénticas, ya que en un caso tiene una discontinuidad en $x=1$ mientras que la simplificada carece de esta discontinuidad.

2. Discontinuidad asintótica: este tipo de discontinuidad se da cuando la función tiende a infinito en un punto, tanto cuando nos acercamos al punto por la derecha, como cuando nos acercamos al punto por la izquierda. En el caso de la función anterior, en el punto $x=-2$, la función tiene una discontinuidad asintótica. Por ejemplo, si desplazamos el punto del eje $X$, $B$, hacia $-2$, observaremos que la imagen de este punto, representado por $E$, crece sin límite; en cambio, si desplazamos el punto del eje $X$, $C$, hacia $-2$, observaremos que la imagen de este punto, representado por $G$, decrece sin límite:

   es decir, los límites por la derecha y por la izquierda en el punto $x=-2$ son infinito:

   $\begin{array}{l}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f(x)=-\infty \\ \\ \underset{x\to -2^{+}}{\lim }f(x)=+\infty \end{array}$ 

   en este caso, la función tiene una asíntota en la recta $x=-2$ porque cuanto más se acercan los valores de la $x$ a $-2$, más próxima a la recta se encuentra la función, como se observa claramente en la gráfica anterior.

El material que se enlaza a continuación muestra ejemplos concretos de lo descrito en esta sección: