Las funciones definidas por partes pueden presentar discontinuidades en sus extremos, asintóticas y evitables, pero también discontinuidades de salto. Por ejemplo, ésta es la gráfica de la función

$f(x)=\{\begin{array}{cc}2x+2& x<-2\\ x^2-3& x\ge -2\end{array}$

El punto $A=(-\mathrm{2,1})$ pertenece a la gráfica, mientras que el punto $B=(-2,-2)$ no, por ello se ha marcado en blanco. Los límites por la derecha y por la izquierda de la función existen, pero no coinciden, por lo tanto, la función no es continua:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f(x)=-2\\ \\ \underset{x\to -2^{+}}{\lim }f(x)=1\end{array}$

En esta situación en la que los límites laterales son finitos, se dice que la función presenta una discontinuidad de salto.

Finalmente, existe otro tipo de discontinuidad, llamada de 2.ª especie, que se produce cuando los límites laterales son uno finito y el otro infinito, o bien cuando alguno de ellos no existe. Por ejemplo, la función $f(x)=\mathrm{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$, cuya representación es:

Desplazando lentamente el punto $A$ del eje X hacia $0$, vemos que su imagen por la función (punto $B$), no tiende a ningún valor concreto, sino que va oscilando sin cesar entre $\mathrm{-1}$ y $1$. Por eso mismo, es imposible dibujar con precisión la gráfica de esta función en un entorno del $0$ (tal como puede observarse en el gráfico).

El material que se enlaza a continuación muestra ejemplos concretos de lo descrito en esta sección: