La imagen más simple que se nos ocurre para decidir si una función es continua o no es si podemos dibujar su gráfica sin levantar el bolígrafo del papel. Parece una idea muy sencilla, pero esencialmente esta es la diferencia entre funciones continuas y no continuas. A partir de aquí, podemos profundizar en los conceptos de límite y continuidad, así como en los diferentes tipos de discontinuidad que podemos encontrar. Para comprender correctamente cada uno de estos conceptos, así como ver ejemplos del estudio de la continuidad de las funciones más habituales, conviene leer el documento Continuidad de funciones.
Las funciones definidas por partes pueden presentar discontinuidades en
sus extremos, asintóticas y evitables, pero también discontinuidades
de salto. Por ejemplo, ésta es la gráfica de la función
f(x)={2x+2x<−2x2−3x≥−2
El punto A=(−2,1) pertenece a la gráfica, mientras que el punto B=(−2,−2) no, por ello se ha marcado en blanco. Los límites por la derecha y
por la izquierda de la función existen, pero no coinciden, por lo tanto, la
función no es continua:
limx→−2−f(x)=−2limx→−2+f(x)=1
En esta situación en la que los límites laterales son finitos, se dice que la
función presenta una discontinuidad de salto.
Finalmente, existe otro tipo de discontinuidad, llamada de 2.ª
especie, que se produce cuando los límites laterales son uno finito
y el otro infinito, o bien cuando alguno de ellos no existe. Por ejemplo, la
función f(x)=sen(1x), cuya representación es:
Desplazando lentamente el punto A del eje X hacia 0, vemos que su imagen
por la función (punto B), no tiende a ningún valor concreto, sino que va
oscilando sin cesar entre −1 y 1. Por eso mismo, es imposible dibujar con precisión la gráfica
de esta función en un entorno del 0 (tal como puede observarse en el gráfico).
El material que se enlaza a continuación muestra ejemplos concretos de lo descrito en esta sección:
