El concepto de derivada es uno de los más importantes del análisis. La derivada de una función $f(x)$, en un punto $x_0$ del dominio de la función, se define de la manera siguiente:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$    equivalente a   $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}$

También puede expresarse así (haciendo el sencillo cambio $x=x_0+h$ ):

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Si este límite existe, se dice que la función es derivable en el punto $x_0$ y, como se puede deducir de la definición, la derivada $f^{\prime }(x_0)$ da una idea de la "velocidad" con la que varía la función en $x_0$.

El ejemplo que sigue a continuación ofrece una interpretación geométrica de la derivada en un punto y que confirma esta idea de la derivada de la función en un punto, que confirma esta idea de la derivada de la función en un punto, como la velocidad de variación en este punto. Se dibuja la gráfica de una función, $f(x)$ y se sitúa un punto $B=(x_0,f(x_0))$. En este ejemplo, se considera $B=(\mathrm{3,}f(3))$:

Para calcular la derivada de la función en este punto $B$ conviene dibujar otro punto cualquiera $A=(x,f(x))$ encima de la gráfica de la función. En este caso, se toma $A=(\mathrm{8,}f(8))$. Por la definición de derivada, se tiene que buscar el límite cuando $x\to 3$ del cociente $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-g{x}_0}$$=$ $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$, en este caso. Al marcar sobre la gráfica de la función los valores de $x=8$ , $x=3$ , $f(x)=f(8)$ i $f(x0)=f(3)$, se forma un triángulo rectángulo, de catetos $f(x)-f(x0)=f(8)-f(3)$ y $x-x0=8-3$, en este caso, y con hipotenusa el segmento $AB$. Entonces, el cociente $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ determina la tangente del ángulo $\alpha$, que equivale a la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. Esto es así porque la pendiente es igual a la tangente del ángulo que forma esta recta con el eje X, siendo a este ángulo. Entonces, al acercarse el valor de $x$ (que en este ejemplo es $8$) hacia $x0=3$ (para verlo en el applet, hay que mover el punto rojo), la recta que pasa por $A$ y por $B$ tiende a la recta tangente a la función en el punto $B$. Así, pues, el límite que define la derivada en $x$ es la pendiente de la recta tangente en este punto. En otras palabras, es la tangente del ángulo que forma esta recta con el eje X, y a la cual tiende la tangente del ángulo $\alpha$.

El applet permite visualizar esta interpretación de la derivada en otras funciones. Para modificar la función, solo hay que desplazar el punto negro del segmento que aparece en la parte superior del applet. En todos los casos, la definición de derivada se aplica del mismo modo, en el mismo punto $B=(\mathrm{3,}f(3))$. Se puede observar que la derivada puede ser tanto un número positivo, como un número negativo.

En general, las funciones estudiadas hasta el momento se pueden derivar en todos sus puntos de su dominio. Dada una función $f(x)$, su derivada se designa por $f^{\prime }(x)$ y hace corresponder a cada valor de su dominio, $\text{Dom}\left(f\right)$, la derivada de la función en este valor (siempre que esta exista, hecho que sucede en la mayoría de los casos estudiados). Una función derivada puede, a su vez, volverse a derivar. Con esto, se obtiene la segunda derivada de la función $f(x)$, que se denota por ${\mathrm{fn}}^{″}(x)$. El proceso de derivación puede repetirse indefinidamente. Cuando esto es posible, se puede hablar de la derivada enésima de la función, que se designa por ${\mathrm{fn}}^{\prime n}(x)$.