La derivada de una función polinómica se puede deducir a partir de las derivadas de los términos $x^n$. Esto es así porque la derivada de una constante es siempre igual a $0$. Es decir, si $f(x)=k$, siendo $k$ un número real, $f^{\prime }(x)=0$, de acuerdo con la definición de derivada de una función en un punto:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{k-k}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{0}{x-x_0}=0$

Para calcular la derivada de cualquier función del tipo $f(x)=x^n$, utilizamos esta definición equivalente de límite:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{(x_0+h)}^n-x_0}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{x_0+h\cdot n\cdot x_0+h^2\cdot (\mathrm{...})-x_0}{h}$

Esto es así porque al desarrollar ${(x_0+h)}^n$, se obtiene un término sin $h$, un término con $h$ (que es $h\cdot n\cdot x_0$ ) y el resto de términos con $h^2$, $h^3$ $\mathrm{...}$ $h^n$. Por lo tanto, el grado de $h$ para el resto de términos es como mínimo 2. Es decir, ${(x_0+h)}^n=x_0+h\cdot n\cdot x_0+h^2\cdot (\mathrm{...})$. Entonces, se tiene que:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{x_0^n+h\cdot n\cdot x_0^{n-1}+h^2\cdot (\dots )-x_0^n}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h\cdot n\cdot x_0^{n-1}+h^2\cdot (\dots )}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\left(n{x}_0^{n-1}+h\cdot (\dots )\right)=n{x}_0^{n-1}$
         

En definitiva, la derivada de $f(x)=x^n$ es $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$. Demostrado este hecho, es relativamente sencillo encontrar la derivada de un polinomio cualquiera. Por ejemplo, la derivada de $p(x)=4x^3-5x^2-2x+1$ es:

$p^{\prime }(x)=4(x^3{)}^{\prime }-5(x^2{)}^{\prime }-2(x{)}^{\prime }+(1{)}^{\prime }=4(3x^2)-5(2x)-2(1)+0=12x^2-10x-2$

También es muy sencillo calcular la derivada de una función racional, ya que se trata de derivar un cociente de polinomios. Por ejemplo, la derivada de $g(x)=\frac{3x^2-2x+1}{x^2+1}$ es

$g^{\prime }(x)=\frac{(6x-2)(x^2+1)-(3x^2-2x+1)(2x)}{{(x^2+1)}^2}$

Finalmente, la fórmula para derivar una potencia también es útil para exponentes de cualquier tipo; es decir, si $n$ es un número cualquiera, $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$. Por ejemplo, la función $f(x)=x^{\frac{-2}{3}}$, es decir, $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{3x^2}}$, tiene por derivada:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2}{3}{x}^{\frac{-2}{3}-1}=\frac{-2}{3}{x}^{\frac{-5}{3}}=\frac{-2}{3\sqrt[3]{x^5}}$