Una vez obtenido el procedimiento para hallar la expresión de la derivada de una función polinómica, es útil comprobar cómo ésta es consistente con su interpretación geométrica.

El applet que sigue a este párrafo muestra la gráfica de $f(x)=x^2-4$. Interesa calcular, por ejemplo, la derivada en $x=5$. La derivada en el punto $(\mathrm{5,}f(5))$  es la pendiente de la recta tangente en ese punto; en este caso, $10$. Así pues, la derivada de la función en $x=5$ es $10$. Dicho de otra manera $f\prime \left(5\right)=10$. Por lo tanto, el punto $(\mathrm{5,10})$  pertenece a la gráfica de la función derivada de $f(x)$ , $f^{\prime }(x)$. Al repetir el proceso para otros valores de $x$ , por ejemplo $x=4$, $x=2$, $x=\mathrm{-1}$, $x=\mathrm{-3}$, se obtienen otros puntos de la gráfica de $f^{\prime }(x)$. Se pueden hallar más valores de la derivada al mover la $x$ a derecha e izquierda. Parece claro que la derivada de $f(x)=x^2-4$ es la recta $y=2x$, expresión que se obtiene al aplicar la derivación de polinomios, $f^{\prime }(x)=2x$.

El ejemplo estudiado corresponde a la expresión polinómica $a{x}^2+b$, con $a=1$ y $b=-4$. El applet permite comprobar cómo el resultado es equivalente a pesar de el coeficiente $a$ del término de $x^2$. Se ve cómo el resultado sigue siendo la derivada de $f(x)$ calculada según las reglas expuestas anteriormente. Si la $f(x)$ es un polinomio de grado 3, por ejemplo, puede observarse cómo los puntos de la derivada forman una parábola cuya expresión es, evidentemente, la obtenida a partir del proceso de derivación de polinomios. En este caso, también es posible variar el valor del coeficiente de grado máximo, $a$.

El material que se enlaza a continuación muestra ejemplos concretos de lo descrito en esta sección: