El hecho de que la derivada de una función en un punto sea cero, no siempre indica que la función tenga un extremo en ese punto. El que sigue a continuación muestra cómo la derivada de la función $f(x)$ se anula en $x=2$, pero que la función no tiene un extremo en este punto, ya que siempre es creciente (de hecho, la derivada siempre es positiva, excepto en $x=2$ ). Por lo tanto, aunque en la mayoría de los casos es cierto, no siempre un cero de la derivada corresponde a un extremo de la función. También puede señalar un punto de inflexión, como en este caso.

Un punto de inflexión se caracteriza por el hecho de que la tangente a la función en ese punto no tan sólo toca la función, sino que la parte en dos, como sucede en el punto $x=2$. Dicho de manera más técnica, en el punto de inflexión, la función cambia su concavidad, pasa de cóncava a convexa, o de convexa a cóncava:

• Una función es cóncava en un punto cuando la función cae por debajo de la tangente en ese punto. En el ejemplo, puede comprobarse que la función en $x=0$ es cóncava.
• Una función es convexa en un punto cuando la función cae por encima de la tangente en ese punto. En el ejemplo, puede comprobarse que la función en $x=4$ es convexa.

Está claro, pues, que en $x=2$, la función cambia su concavidad: en particular, en este punto la función pasa de cóncava a convexa.

En cualquier caso, la condición requerida para que una función tenga un punto de inflexión es que su segunda derivada en ese punto sea $0$. Así se puede comprobar en el gráfico anterior, al la segunda derivada que, en $x=2$ verifica $f^{″}(2)=0$.

En todo caso, no es necesario que la primera derivada también sea $0$ para que la función tenga un punto de inflexión. El applet que a continuación muestra la gráfica de una función que tiene la primera derivada un punto de inflexión en $x=1$, pero la primera derivada en este punto no es cero, mientras que la segunda derivada sí que lo es.

Se resumen, a continuación las características más importantes de las funciones que pueden desvelarse a través de sus derivadas:

• Si la segunda derivada de la función es diferente de $0$ en un punto, si la primera derivada en ese punto es $0$, la función tiene en ese punto un:
  • mínimo, si la segunda derivada en el punto es positiva.
  • máximo, si la segunda derivada en el punto es negativa.
• Si la tercera derivada de la función es diferente de $0$ en un punto, si la segunda derivada en ese punto es $0$, la función tiene en este punto un punto de inflexión.

Ahora bien, cuando la derivada siguiente de la que es $0$ también es $0$ en el mismo punto, deben mirarse las derivadas sucesivas (la tercera y la cuarta, en el primer caso; y la cuarta y la quinta, en el segundo caso; y así sucesivamente).

El material que se enlaza a continuación muestra ejemplos concretos de lo descrito en esta sección: