La integral definida de una función, $f(x)$, entre dos puntos, $a$ y $b$, es el área (teniendo en cuenta el signo, es decir, si la función es negativa, el área será negativa) que se encierra entre la función, estos dos puntos y el eje X, y se expresa así: ${\int }_a^{b}f(x)dx$ .

Para calcular dicha integral se puede aproximar dicha área por dos valores, uno superior y otro inferior. Podemos dividir el intervalo $[a,b]$ en $n$ valores equidistantes, $x_1=a,x_2\mathrm{...}{x}_n=b$ , y calcular en cada pequeño intervalo, $[x_i,x_{i+1}]$ el máximo y el mínimo de la función, que denominaremos $M_i$ y $m_i$, entonces podremos asegurar que la integral definida entre $a$ y $b$ está "emparedada" entre estas dos sumas, la primera denominada suma inferior y la segunda, suma superior:

$\sum _{i=1}^{n-1}{m}_i(x_{i+1}-x_i)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \sum _{i=1}^{n-1}{M}_i(x_{i+1}-x_i)$

Gráficamente es muy sencillo de comprobar: en el caso mas sencillo, $n=2$, la suma inferior resulta de multiplicar el mínimo de la función en todo el intervalo, por la diferencia $b-a$, cuyo resultado es el área de este rectángulo, que sin duda es inferior (podría ser igual) al valor de la integral definida. Cuando $n=3$ el intervalo $[a,b]$ se divide en dos intervalos más pequeños, y la suma inferior correspondiente es igual a la suma de estos dos rectángulos. Si aumentamos el valor de $n$ ( $n=4\text{,}n=5\text{,}n=10\text{y}n=50$), observamos que el valor de la suma inferior es siempre menor que el valor de la integral definida, pero puede intuirse que cada vez son más cercanas.

En cambio, en el caso mas sencillo, $n=2$, la suma superior resulta de multiplicar el máximo de la función en todo el intervalo por $b-a$. Su resultado es el área de este rectángulo, que sin duda es superior (podría ser igual) al valor de la integral definida. Cuando $n=3$ el intervalo $[a,b]$ se divide en dos intervalos más pequeños, y la suma superior correspondiente es igual a la suma de estos dos rectángulos. Si aumentamos el valor de $n$ ($n=4\text{,}n=5\text{,}n=10\text{y}n=50$), observamos que el valor de la suma superior es siempre menor que el valor de la integral definida, pero puede intuirse que cada vez son más cercanas.

Puedes comprobar esta desigualdad en el applet, activando los casillas de la suma superior y suma inferior, y modificando a los parámetros a y b de la función $f$.

Después de mostrar que las desigualdades anteriores son correctas, si el límite cuando $n$ tiende a $\infty$ de estas dos sumas coincide, entonces resulta evidente que:

$\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{n-1}{m}_i(x_{i+1}-x_i)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{n-1}{M}_i(x_{i+1}-x_i)$