Los ejemplos de varios sistemas de ecuaciones que se han visto hasta ahora tienen todos una solución única. Pero habitualmente, pueden darse otras situaciones. La clasificación general de los sistemas de ecuaciones, según el número de soluciones, es la siguiente:

• Si tiene solución, se denomina sistema compatible:
  • Si la solución es única, el sistema es compatible determinado.
  • Si la solucíón no es única, el sistema es compatible indeterminado.
• Si no tiene solución, se denomina sistema incompatible.

El método de Gauss permite reconocer qué tipo de sistema es. Un sistema compatible determinado es muy sencillo de reconocer, ya que se encuentra directamente la solución. El sistema incompatible también es fácil de reconocer, ya que en algún momento de la resolución, alguna de las ecuaciones resultantes será una expresión imposible, del tipo $0=3$, $0=-4$, es decir, el $0$ igual a otro número. Un resultado imposible nos indica que el sistema es incompatible.

Si la resolución del sistema no conduce ni a un sistema compatible determinado, ni a un sistema incompatible, es evidente que el sistema será un sistema compatible indeterminado. En este caso nos podemos encontrar que inicialmente tenemos más incógnitas que ecuaciones y, por lo tanto, será imposible encontrar una única solución o bien que, en algún momento de la resolución, llegaremos a una ecuación trivial del tipo $0=0$ que, evidentemente, deberemos eliminar porque no aporta ninguna información adicional. Veamos un ejemplo,

$\{\begin{array}{l}x+2y-3z=16\\ 6x-y-18z=-8\\ -4x+3y+12z=24\end{array}$

Después de aplicar Gauss resulta:

$\{\begin{array}{l}x+2y-3z=16\\ -13y=-104\\ 0=0\end{array}$

Debemos eliminar la última expresión, que no aporta ninguna información, y asociar, por ejemplo, la última variable a un valor $a$ y después desplazarlo al otro miembro de la igualdad. Es decir, si $z=a$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=16+3a\\ -13y=-104\end{array}$

Queda, pues, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que contiene un valor $a$ indeterminado. Y por lo tanto el sistema tendrá infinitas soluciones que dependerán del valor $a$. Podemos escribir la solución como $x=3a$, $y=8$ y $z=a$. Para $a=1$, tendremos una solución, para $a=-2.5$, tendremos otra solución, etc. Así pues, el sistema tendrá infinitas soluciones, una para cada uno de los valores posibles de $a$.

El material que se enlaza a continuación muestra ejemplos concretos de lo descrito en esta sección: