Al sustituir la variable del polinomio por un número se obtiene una expresión numérica cuyo resultado es el valor númerico del polinomio en ese punto. Por ejemplo, dado el polinomio $p\left(x\right)=5x^3-4x^2+5x-1$, el valor del polinomio cuando $x=1$, es $p(1)=5·1^3-4·1^2+5·1-1=5$. Entonces, se dice que el valor del polinomio $p$ en el punto $1$ es $5$, y se escribe, $p\left(1\right)=5$.

El teorema del resto es un resultado interesante que relaciona el valor numérico de un polinomio con la división de polinomios. Afirma que al dividir un polinomio cualquiera $p\left(x\right)$ entre $x-a$, siendo $a$ un número cualquiera, el resto de dicha división es precisamente $p\left(a\right)$. Así, en el caso del ejemplo anterior, se puede asegurar que el resto de la división de $p\left(x\right)=5x^3-4x^2+5x-1$ entre $x-1$ es $p\left(1\right)=5$.

Por otra parte, resulta que un polinomio es divisible por otro polinomio cuando la división entre ellos es exacta, es decir, cuando el resto de la división es $0$. Por el teorema del resto, se puede asegurar que un polinomio $p\left(x\right)$ es divisible por $x-a$, si $p\left(a\right)=0$. Al valor $a$ que cumple dicha condición se le denomina raíz del polinomio $p\left(x\right)$. Así pues, una raíz de un polinomio $p\left(x\right)$ es un valor numérico $a$ que cumple que $p\left(a\right)=0$.

El teorema del resto permite afirmar que estas dos afirmaciones son equivalentes:

• $a$ es una raíz del polinomio $p\left(x\right)$.
• $p\left(x\right)$ es divisible entre $x-a$.

Por ejemplo, el polinomio $p\left(x\right)=x^2-1$ tiene raíz $x=1$, ya que $p\left(1\right)=0$. Así pues, puede asegurarse que este polinomio también es divisible entre $x-1$. De la misma manera, este polinomio tiene otra raíz $x=-1$, ya que $p(-1)=0$. Así, puede asegurarse que dicho polinomio también es divisible entre $x-(-1)$, es decir, entre $x+1$. Dado que $p\left(x\right)=x^2-1$ es divisible entre $x-1$, su división debe tener resto 0. Al hacer la división, se obtiene:

$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$

de manera que, al pasar el denominador al otro miembro, ocurre: $p\left(x\right)=x^2-1=(x+1)(x-1)$.

Se habla de raíz doble cuando una raíz aparece exactamente dos veces en el listado de raíces de un polinomio. Por ejemplo, $q(x)={(x+1)}^2$ tiene una raíz doble, que es $\text{-1}$. Así, si un polinomio tiene una raíz doble $a$, significa que el polinomio es divisible por ${(x-a)}^2$.

El material que se enlaza a continuación muestra ejemplos concretos de lo descrito en esta sección: