Las operaciones básicas entre matrices son:

La suma y la resta

La suma de dos matrices es otra matriz, y cada uno de sus elementos es igual a la suma de los elementos de las dos matrices anteriores con los mismos subíndices. Evidentemente, la suma sólo puede realizarse entre matrices de la misma dimensión, y su resultado también tendrá idéntica dimensión. Por ejemplo, dadas estas matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 1& -2\\ 1& 3& 1\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -3\\ 2& 0& -1\\ 3& 4& 2\end{array}\right)$ $C=\left(\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 2& \hfill -2\\ \hfill -1& \hfill 6& \hfill -1\end{array}\right)$

La sumas $A+C$ y $B+C$ no pueden realizarse porque son matrices de diferente dimensión. En cambio, sí es posible sumar $A+B$, de esta manera:

La resta entre matrices se realiza de manera similar, teniendo en cuenta que en lugar de sumar los elementos de las matrices, se restan.

El producto de un número por una matriz

Para realizar el producto de un número por una matriz tan sólo es necesario multiplicar cada elemento de dicha matriz por el número. Por ejemplo, siguiendo con la misma matriz $A$, si la multiplicamos por $3$, éste es el resultado:

$3A=3·\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 1& -2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3·1& 3·2& 3·(-3)\\ 3·2& 3·1& 3·(-2)\\ 3·(-1)& 3·3& 3·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 6& -9\\ 6& 3& -6\\ -3& 9& 3\end{array}\right)$

El producto de dos matrices

No debe confundirse este producto con el anterior. Para multiplicar dos matrices debe tenerse en cuenta lo siguiente:

• El número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz.
• La matriz resultante tendrá tantas filas como la primera, y tantas columnas como la segunda.

Esta secuencia muestra cómo realizar el producto $C·A$ (el símbolo de la multiplicación puede ser, indistintamente, $·$, o bien, ×):

El producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

1. Asociativa: $A\times B\times C=A\times \left(B\times C\right)=\left(A\times B\right)\times C$

2. El elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad, $I_n$. Es decir, si $A$ es una matriz cuadrada $n\times n$, $A\times I_n=I_n\times A=A$.

3. A veces (aunque no siempre), existen matrices cuadradas que tienen elemento inverso. Dicha matriz, cuando existe, se denomina inversa; también se dice que la matriz $A$ es invertible. La matriz inversa de una matriz cuadrada de dimensión $n\times n\mathrm{ A}$, se indica $A^{\mathrm{-1}}$, y cumple:

$A\times A^{\mathrm{-1}}=A^{\mathrm{-1}}\times A=I_n$

4. En general, el producto de matrices no es conmutativo. Es decir, si $A$ y $B$ son dos matrices, cuando pueden realizarse los productos $A\times B$ y $B\times A$, generalmente:

$A\times B\ne B\times A$

aunque en algunas, muy pocas, ocasiones puede ser igual. En el caso del ejemplo anterior, no puede realizarse $A\times C$, ya que $A$ tiene $3$ columnas, mientras que $C$ tan sólo tiene $2$ filas.