Determinante de una matriz cuadrada

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Cada matriz cuadrada puede asociarse a un número que es de gran ayuda. Este número se denomina determinante de la matriz. Para indicar el determinante de una matriz se colocan sus elementos entre dos segmentos verticales, y no entre paréntesis. Por ejemplo, el determinante de la matriz $A$ se indica como sigue

$A = (\begin{matrix} 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 1 & - 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{matrix}) \underset{su determinante se indica así}{\to} ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 1 & - 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{matrix} ∣$

también puede indicarse de esta otra manera: $\det (A)$ .

Se definirá el determinante de manera recursiva, es decir, primero para matrices de dimensión $1 \times 1$ , a continuación para matrices de dimensión $2 \times 2$ , y así sucesivamente.

El determinante de una matriz $1 \times 1$ es igual al número que compone la matriz. Por ejemplo, si $A = (3) \det (A) = | 3 | = 3$

El determinante de una matriz $2 \times 2$ es igual al producto de los elementos de la diagonal menos el producto de los otros dos elementos. Por ejemplo,

si $A = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 4 \end{matrix})$ entonces, $\det (A) = ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 4 \end{matrix} ∣ = 1 \cdot 4 - (- 1) \cdot 2 = 6$

El determinante de una matriz $3 \times 3$ se calcula de esta manera:

$∣ \begin{array}{r} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} ∣ = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{21} a_{13} a_{32} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}$

Por ejemplo, en el ejemplo anterior, el determinante de $A$ es igual a:

$∣ \begin{matrix} 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 1 & - 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{matrix} ∣ = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (- 2) \cdot (- 1) + 2 \cdot (- 3) \cdot 3 - (- 1) \cdot 1 \cdot (- 3) - 2 \cdot 2 \cdot 1 - 1 (- 2) \cdot 3 = - 14$

Para calcular el determinante de matrices de dimensión $4 \times 4$ , se debe descomponer el determinante de la siguiente manera:

$∣ \begin{array}{r} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} ∣ = a_{11} ∣ \begin{array}{r} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} ∣ - a_{21} ∣ \begin{array}{r} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} ∣ + a_{31} ∣ \begin{array}{r} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} ∣ - a_{41} ∣ \begin{array}{r} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} ∣$

es decir, se trata de multiplicar cada elemento de la primera columna por el determinante de la matriz $3 \times 3$ que resulta de eliminar la fila y la columna correspondiente a este elemento.

Al determinante que resulta de eliminar la fila $i$ y la columna $j$ se le denomina menor complementario del elemento $a_{i j}$ , y se indica $α_{i j}$ (α, alfa, es la primera letra del alfabeto griego). Por ejemplo, en el caso de la matriz $4 \times 4$ anterior, el menor complementario de $α_{31}$ es

$a_{31} = ∣ \begin{array}{r} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} ∣$

Así pues, la expresión que calcula el determinante $4 \times 4$ puede simplificarse más:

$∣ \begin{array}{r} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} ∣ = a_{11} α_{11} - a_{21} α_{21} + a_{31} α_{31} - a_{41} α_{41}$

por ejemplo, puede calcularse este determinante siguiendo la fórmula anterior:

$∣ \begin{array}{r} 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & - 2 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{array} ∣ = 9$

Para calcular el determinante de cualquier matriz cuadrada se sigue el mismo procedimiento: se multiplica cada elemento de la primera columna por su menor complementario; además, se deben alternar los signos, empezando siempre por el signo $+$ . Es decir:

$∣ \begin{array}{r} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & ... & a_{n n} \end{array} ∣ = a_{11} α_{11} - a_{21} α_{21} + a_{31} α_{31} + ... + {(−1)}^{n + 1} a_{n 1} α_{n 1}$

El cálculo del determinante puede realizarse con cualquier columna (o fila) de la matriz.

El material que se enlaza a continuación muestra ejemplos concretos de lo descrito en esta sección: