Tan sólo una matriz cuadrada puede tener inversa. Además, la matriz debe tener determinante diferente de $0$. Para hallar la inversa de una matriz se debe definir, primero, el concepto de adjunto de un elemento de la matriz: el adjunto del elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$, se indica con $a_{ij}$, y se define de la siguiente forma:

$A_{ij}={\left(\mathrm{-1}\right)}^{i+j}{\alpha }_{ij}$ siendo ${\alpha }_{ij}$ el menor complementario de $a_{ij}$

Se puede observar que si $i+j$ es un número par, $A_{ij}={\alpha }_{ij}$; en cambio, si $i+j$ es un número impar, $A_{ij}={\mathrm{-\alpha }}_{ij}$. Es decir, el signo que debe anteponerse al menor complementario para obtener el elemento correspondiente adjunto se rige por la siguiente matriz de signos:

$\left(\begin{array}{rrrrr}\hfill +& \hfill -& \hfill +& \hfill \cdots & \hfill \\ \hfill -& \hfill +& \hfill -& \hfill \cdots & \hfill \\ \hfill +& \hfill -& \hfill +& \hfill \cdots & \hfill \\ \hfill ⋮& \hfill ⋮& \hfill ⋮& \hfill \ddots & \hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill +\end{array}\right)$

Por ejemplo, el adjunto del elemento $a_{34}$ debe ser $A_{34}={\left(\mathrm{-1}\right)}^{3+4}{\alpha }_{34}={\alpha }_{34}$.

La matriz formada por todos los adjuntos de los elementos de la matriz $A$ se denomina matriz de adjuntos de $A$, y se indica con $A\text{'}$.

Una vez hallada la matriz de adjuntos de $A$, es muy sencillo de hallar la matriz inversa de $A$:

$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}{(A\text{'})}^T$

Dicho de otra manera, la matriz inversa de $A$ es la matriz de adjuntos de $A$ transpuesta y dividida entre el valor del determinante de $A$. El determinante de $A$ debe ser distinto de $0$; en caso contrario, la fórmula no puede aplicarse.

Por ejemplo, si la matriz $A$ es $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 1& -2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)$, calculemos su inversa:

sabemos que $\mid \begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 1& -2\\ -1& 3& 1\end{array}\mid =-14$

calculemos la matriz de adjuntos y su transpuesta:

$A’=\left(\begin{array}{ccc}7& 0& 7\\ -11& -2& -5\\ -1& -4& -3\end{array}\right)$ ${\left(A’\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}7& -11& -1\\ 0& -2& -4\\ 7& -5& -3\end{array}\right)$

Por lo tanto, la inversa de $A$ es:

$A^{-1}=\frac{-1}{14}\left(\begin{array}{ccc}7& -11& -1\\ 0& -2& -4\\ 7& -5& -3\end{array}\right)$

lo que puede comprobarse fácilmente:

$A·A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 1& -2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)·\frac{-1}{14}\left(\begin{array}{ccc}7& -11& -1\\ 0& -2& -4\\ 7& -5& -3\end{array}\right)=\frac{-1}{14}\left(\begin{array}{ccc}-14& 0& 0\\ 0& -14& 0\\ 0& 0& -14\end{array}\right)=I_n$

De la misma manera puede comprobarse fácilmente que $A^{\mathrm{-1}}·A=I_3$.

El material que se enlaza a continuación muestra ejemplos concretos de lo descrito en esta sección: