Un sistema de ecuaciones lineales puede expresarse en forma matricial de la siguiente manera:

( a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 n a 21 a 22 a 23 ⋯ a 2 n a 31 a 32 a 33 ⋯ a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 a m 3 ... a m n ) ( x 1 x 2 x 3 ⋮ x n ) = ( b 1 b 2 b 3 ⋮ b m )

que se denomina ecuación matricial, y puede expresarse como $A·X=B$, siendo $X$ una matriz $n\times 1$ formada por las variables, $A$ una matriz $m\times n$, y $B$ una matriz $m\times 1$. Los rangos de las matrices (el rango de una matriz es el número de filas o de columnas del menor más grande cuyo determinante sea diferente de $0$) $A$ y de su ampliada, $A^{*}$, nos permiten conocer el número de soluciones de dicho sistema:

• El sistema tiene solución cuando el rango de la matriz $A$ y el de la matriz ampliada son iguales $\mathrm{rang}\left(A\right)=\mathrm{rang}\left(A^{*}\right)$. Pueden darse los siguientes casos:
  • Si $\mathrm{rang}\left(A\right)=n$ la solución es única, es decir, existe una única matriz $n\times 1$ que cumple que $A·X=B$.
  • Si $\mathrm{rang}\left(A\right)<n$ la solución no es única; de hecho, en este caso, el sistema tiene infinitas soluciones.

• El sistema no tiene solución si el rango de la matriz $A$, y el de la matriz ampliada son diferentes, es decir, si $\mathrm{rang}\left(A\right)\ne \mathrm{rang}\left(A^{*}\right)$

Para hallar la solución en el caso de que el sistema tenga solución única (es decir, si se cumple que $\mathrm{rang}\left(A\right)=\mathrm{rang}\left(A^{*}\right)=n$), se elige un menor de orden $n$ de la matriz $A$ cuyo determinante no es $0$ (y se le denomina $\stackrel{-}{A}$) y se eligen las filas de $B$ que coincidan con las filas del menor de orden $n$ elegido (a estas filas se las denomina $\stackrel{-}{B}$). Para resolver el sistema $A·X=B$, basta con resolver $\stackrel{-}{A}·X=\stackrel{-}{B}$. Ahora bien, como $\stackrel{-}{A}$ es una matriz cuadrada cuyo determinante no es $0$, existe su inversa. Por lo tanto, podemos hacer multiplicar a ambos lados por ${\stackrel{-}{A}}^{-1}$:

A - - 1 · A - · X = A - - 1 · B -

Sabemos que A - - 1 · A - = I n, por lo tanto, la solución del sistema es

X = A - - 1 · B -

Por ejemplo, la solución del sistema:

{ x + y + z 2 x - 5 y - 2 z 3 x + 4 y + z = = = 0 - 2 8 2 x + 2 y + 2 z = 0 equivalente a ( 1 1 1 2 - 5 - 2 3 4 1 2 2 2 ) ( x y z ) = ( 0 - 2 8 0 )

es única porque $\mathrm{rang}\left(A\right)=\mathrm{rang}\left(A^{*}\right)=3$. Para resolver el sistema se debe elegir un menor de orden $3$ que no sea $0$ (por ejemplo, las tres primeras filas)

A - = ( 1 1 1 2 - 5 - 2 3 4 1 ) B - = ( 0 - 2 8 ) y la solución del sistema es X = A - - 1 · B -

A - - 1 = 1 18 ( 3 3 3 - 8 - 2 4 23 - 1 - 7 ) → X = 1 18 ( 3 3 3 - 8 - 2 4 23 - 1 - 7 ) ( 0 - 2 8 ) = ( 1 2 - 3 )

así pues, $x=1$, $y=2$, $z=\mathrm{-3}$

En el caso de que el $\mathrm{rang}\left(A\right)=\mathrm{rang}\left(A^{*}\right)=r<n$, se debe hacer lo mismo; pero una vez elegido el menor de orden $r$, se debe transformar el sistema de ecuaciones inicial, de manera que las incógnitas que no correspondan con una columna del menor anterior deben situarse al otro lado del signo igual. Así se obtendrá un sistema con $r$ incógnitas, que podrá expresarse en forma matricial. En este caso, también la $B$ contendrá alguna de las incógnitas. Ahora ya podrá resolverse el nuevo sistema de la forma anterior (porque se trata de un sistema con $r$ incógnitas, cuya matriz tiene rango $r$). Debe señalarse que la solución, en este caso, vendrá dada en términos de algunas de las incógnitas y, por lo tanto, la solución no será única.

Por ejemplo, el sistema

$\{\begin{array}{c}x\\ \\ 3x\\ \end{array}\begin{array}{c}+\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}y\\ y\\ \\ -y\end{array}\begin{array}{c}+\\ -\\ +\\ +\end{array}\begin{array}{c}z\\ z\\ 6z\\ z\end{array}\begin{array}{c}-& +\\ -\\ -\end{array}\begin{array}{c}w\\ w\\ 6w\\ w\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{c}1\\ -1\\ 6\\ 1\end{array}$ se puede expresar ( 1 1 1 - 1 0 1 - 1 1 3 0 6 - 6 0 - 1 1 - 1 ) ( x y z w ) = ( 1 - 1 6 1 )

en este caso, $\mathrm{rang}\left(A\right)=\mathrm{rang}\left(A^{*}\right)=2<4$. Por lo tanto, primero debe modificarse el sistema original:

$\{\begin{array}{c}x\\ \\ 3x\\ \end{array}\begin{array}{c}+\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}y\\ y\\ \\ -y\end{array}\begin{array}{c}+\\ -\\ +\\ +\end{array}\begin{array}{c}z\\ z\\ 6z\\ z\end{array}\begin{array}{c}-\\ +\\ -\\ -\end{array}\begin{array}{c}w\\ w\\ 6w\\ w\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{c}1\\ -1\\ 6\\ 1\end{array}\stackrel{}{\to }\{\begin{array}{c}x\\ \\ 3x\\ \end{array}\begin{array}{c}+\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}y\\ y\\ \\ -y\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{c}1\\ -1\\ 6\\ 1\end{array}\begin{array}{c}-\\ +\\ -\\ -\end{array}\begin{array}{c}z\\ z\\ 6z\\ z\end{array}\begin{array}{c}+\\ -\\ +\\ +\end{array}\begin{array}{c}w\\ w\\ 6w\\ w\end{array}$

que en forma matricial se expresa así:

( 1 1 0 1 3 0 0 - 1 ) ( x y ) = ( 1 - - 1 + 6 - 1 - z z 6 z z + - + + w w 6 w w )

si elegimos un menor de rango $2$ obtenemos:

( 1 1 0 1 ) ( x y ) = ( 1 - z + w - 1 + z - w )

por lo tanto,

( x y ) = ( 1 1 0 1 ) - 1 ( 1 - z + w - 1 + z - w ) = ( 1 - 1 0 1 ) ( 1 - z + w - 1 + z - w ) = ( 2 - 2 z + 2 w - 1 + z - w )

El material que se enlaza a continuación muestra ejemplos concretos de lo descrito en esta sección: