Sabemos que el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones modifica el sistema de ecuaciones original para conseguir eliminar ciertos coeficientes. El mismo proceso puede realizarse matricialmente, siguiendo exactamente los mismos pasos, pero sin tener que escribir las incognitas. Ésta es la única ventaja del método de Gauss utilizando matrices. Para ello se utiliza la matriz ampliada. Debe recordarse que:

• Se pueden intercambiar filas de la matriz porque representan ecuaciones que también pueden intercambiarse.
• Pueden intercambiarse columnas, teniendo en cuenta que cada columna representa los coeficientes de una variable concreta. Por lo tanto, al final deberemos asociar la solución a la variable correcta.

Por ejemplo, dado este sistema:

$\{\begin{array}{c}x\\ 2x\\ \\ \end{array}\begin{array}{c}-\\ -\\ \\ \end{array}\begin{array}{c}y\\ 2y\\ y\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ +\\ \\ \end{array}\begin{array}{c}\\ z\\ \\ 2z\end{array}\begin{array}{c}\\ +\\ +\\ +\end{array}\begin{array}{c}\\ 2w\\ w\\ w\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\\ 5\end{array}$

las transformaciones que provoca el método de Gauss en su matriz ampliada pueden seguirse en esta secuencia (los espacios en blanco de la matriz sustituyen ceros):

El sistema resultante, sobre el que se aplicará la sustitución hacia atrás, es el siguiente:

$\{\begin{array}{c}x\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}-\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}y\\ y\\ \\ \end{array}\begin{array}{c}\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}\\ \\ z\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ w\\ 2w\\ -3w\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\\ -3\end{array}$