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Una función a trozos (o por partes) es aquella que tiene varias expresiones para cada parte del dominio. Esta es la gráfica de una función definida a trozos, formada por una parábola para valores de $x$ menores que $2$ , y por una recta para valores de $x$ mayores o iguales que $2$ :

Encuentra la expresión algebraica de la función.

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Se trata de una función definida a trozos formada por una parábola y una recta. Analicemos primero la parábola:

Pasa por los puntos: $(−6, 0)$ , $(−2, −8)$ , $(2, 0)$ . A partir de ellos puede plantearse un sistema de ecuaciones y obtener $a$ , $b$ y $c$ de la expresión de la función cuadrática $a x^{2} + b x + c$ .

Ahora bien, puede hacerse de manera más sencilla si se utilizan las raíces del polinomio asociado. Una raíz del polinomno es $−6$ , y la otra raíz es $2$ . Así pues, la ecuación de la parábola es:

$y = α (x + 6) (x - 2)$

Además, sabemos que pasa por $(−2, −8)$ , por lo tanto,

$−8 = α (−2 + 6) (−2 - 2) = −16 α \to α = ½$

la ecuación de la parábola es $y = ½ (x + 6) (x - 2)$

Vamos a por la ecuación de la recta que pasa por $(2, 0)$ y $(4, −6)$ , es del tipo

$y = a x + b$

$0 = 2 a + b$

$−6 = 4 a + b$

Restando ambas ecuaciones queda $2 a = −6 \to a = −3 \to b = 6$

Así, pues, la ecuación de la función es:

$f (x) = {\begin{matrix} \frac{(x + 6) (x - 2)}{2} & x < 2 \\ - 3 x + 6 & x \geq 2 \end{matrix}$