Las Matemáticas como materia básica en los

futuros títulos de Grado de Biología,

Bioquímica y Biotecnología y

Ciencias Ambientales

 M. Carriegos Vieira1, A. de Francisco Iribarren2, R. Santamaría Sánchez3
Dpto. de Matemáticas.

Universidad de León

Introducción

La adaptación de los actuales títulos de Ingenierías Técnicas y Superiores, Diplomaturas y Licenciaturas a los futuros títulos de Grado supone un cambio profundo en la concepción de la docencia universitaria. A poco más de dos años para la culminación del proceso de convergencia de nuestro actual sistema universitario al Espacio Europeo de Educación Superior, fijada por el Real Decreto 1393/ 2007 de 29 de octubre para el año académico 2010/2011, recogemos en este documento algunas experiencias que se han llevado a cabo durante este periodo en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de León. Más concretamente, nuestras reflexiones y experiencias se enmarcan alrededor de las asignaturas de Matemáticas de la Licenciatura de Biotecnología de la Universidad de León, en la que los tres autores hemos impartido docencia desde su implantación en el curso académico 2004/2005 en las asignaturas de Matemáticas I , Matemáticas II y Ecuaciones Diferenciales, que junto con la asignatura de Redes Neuronales y Algoritmos Genéticos (que se impartirá por primera vez el curso académico que viene), contienen todos los conocimientos matemáticos del título. Los tres autores formamos parte de un equipo de docentes de la Universidad de León, que actualmente desarrolla el proyecto titulado “Propuesta de planificación de las materias de Matemáticas incluidas en los nuevos planes de estudio de los Grados de Biología, Bioquímica y Biotecnología y Ciencias Ambientales”, al amparo de una ayuda de la Consejería de Educación de la Junta de Castilla y León de orden EDU/1055/2007 de 11 de junio, para la elaboración y desarrollo de proyectos en torno a la armonización y convergencia de la enseñanza universitaria en el Espacio Europeo de Educación Superior.

El desarrollo de este proyecto, en el que nuestra experiencia se enriquece con la de otros miembros con docencia en asignaturas de Matemáticas de las Licenciaturas de Biología y Ciencias Ambientales de la Universidad de León, amplían la utilidad de nuestras reflexiones y experiencias a la adaptación y contextualización de asignaturas de Matemáticas en otros títulos de Grado, en particular a los futuros títulos de Grado de Biología, Bioquímica y Biotecnología, y Ciencias Ambientales, y de forma más general a otros títulos de Grado de la rama de conocimiento de la rama de Ciencias relacionados en mayor o menor medida con la Biología.

Keywords 

Tecnologías de la información y la comunicación, espacio europeo de educación superior, docencia en ciencias experimentales, enseñanza de las matemáticas, Castilla y León.

Dos temas de reflexión: la legislación actual y la formación previa de los alumnos 

El Ministerio de Educación y Ciencia establece la ordenación de las enseñanzas universitarias oficiales en el Real Decreto 1393/2007 de 29 de octubre. Este documento establece entre otros objetivos del título de Grado que un estudiante que sigue tales estudios posea como mínimo las siguientes competencias básicas:

• Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la ecuación secundaria general, y suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio;
• Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética;
• Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

A nuestro juicio, los conocimientos y destrezas de carácter matemático que el alumno debe adquirir en sus estudios de Grado de Biología, Bioquímica y Biotecnología y Ciencias Ambientales, son fundamentales a la hora de alcanzar los objetivos que enumera el Real Decreto. El legislador también comparte nuestro criterio, como se deduce de la introducción de las Matemáticas como una materia básica en los títulos de la rama de conocimiento de Ciencias, a la que sin duda se encontrarán adscritos los Grados de nuestro interés.

Analicemos brevemente la formación inicial de los alumnos, para ello estudiaremos someramente el primer referente que establece el Real Decreto 1393/2007: el bachillerato, cuya ordenación recoge el Real Decreto 1467/2007 de 2 de noviembre. De acuerdo a esta normativa, el bachillerato se articula en dos cursos académicos alrededor de unas materias comunes (sin contenidos matemáticos), a las que el alumno debe añadir las llamadas materias de modalidad, agrupadas en cuatro ramas de conocimiento: Artes plásticas, imagen y diseño; Artes escénicas, música y danza; Ciencias y Tecnología; y Humanidades y Ciencias Sociales. Las dos últimas modalidades contienen materias de Matemáticas, a saber: Matemáticas I y II entre las treces materias de modalidad de Ciencias y Tecnología, y Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I y II entre las doce materias de modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales. La normativa establece que un alumno de bachillerato debe cursar como mínimo seis materias de modalidad, de las cuales al menos cinco deberán ser cursadas en la rama de conocimiento escogida.

La procedencia esperada para un alumno de los futuros Grados de Biología, Bioquímica y Biotecnología y Ciencias Ambientales, es la modalidad de bachillerato de Ciencias y Tecnología, donde éste entra en contacto con las futuras disciplinas que elegirá para el Grado: Biología, Ciencias de la tierra y medioambientales, Química, etc. No resulta insólito que en la elección de sus materias de modalidad, el futuro alumno de estos grados no incluya las materias de Matemáticas I y II. En relación con este asunto, presentamos a continuación las siguientes estadísticas oficiales elaboradas por la Oficina de Calidad de la Universidad de León sobre los alumnos de nuevo ingreso en estas titulaciones.

Los porcentajes de alumnos que no han cursado las asignaturas de Matemáticas de bachillerato, que en algunos casos supera el 50%, suponen una llamada de atención, revelando que la elección de los contenidos matemáticos en estos grados no es una cuestión trivial.

El Real Decreto 1393/2007, en el apartado de resultados previstos del Anexo I, introduce tres indicadores de calidad para los futuros títulos de Grado: tasa de graduación, tasa de abandono y tasa de eficiencia de obligada inserción en las memorias de los títulos. Las posibles carencias de conocimientos matemáticos de los futuros alumnos (que no deficiencias, puesto que como revela el análisis de la estructura del bachillerato actual un alumno puede llegar a la Universidad con los conocimientos matemáticos que proporciona la Enseñanza Secundaria Obligatoria), pueden repercutir de manera muy negativa en los índices anteriores, lo que convierte en crítica la elección de los contenidos matemáticos de estos títulos.

Nuestra propuesta para la asignatura Matemáticas Básicas Instrumentales 

Asignatura de Matemáticas de carácter básico, denominada “Matemáticas Básicas Instrumentales”, con los siguientes contenidos:

• Álgebra Lineal: sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes, espacios vectoriales y diagonalización de matrices.
• Cálculo Diferencial en una variable: límites y continuidad de funciones, derivabilidad funciones y aproximación de funciones por polinomios.
• Cálculo Diferencial en varias variables: límites y continuidad de funciones, diferenciabilidad de funciones, el polinomio de Taylor en varias variables y los teoremas de la función implícita e inversa.
• Cálculo Integral: La integral de Riemann en una variable, integrales indefinidas y cálculo de primitivas, integrales impropias, la integral de Riemann en varias variables, el cálculo de integrales en varias variables.
• Ecuaciones Diferenciales: ecuaciones diferenciales de primer orden, sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones diferenciales de segundo orden, diagramas de fases y comportamiento cualitativo de sistemas no lineales.

Una asignatura con estos contenidos permitiría el correcto desarrollo y construcción de otras dos asignaturas que no deben faltar en estos nuevos grados: Métodos Numéricos y Estadística y Ecuaciones Diferenciales, la primera de ellas de carácter básico mientras que la segunda tendría un carácter optativo u obligatorio (nosotros nos decantamos por esta segunda opción).

La introducción en esta asignatura de los polinomios de interpolación y de Taylor, así como de las integrales impropias y en varias variables, permitiría en la asignatura de Métodos Numéricos y Estadística, abordar la construcción de los principales métodos numéricos de cálculo en una variable: aproximación de raíces, integración numérica y aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales, y presentar adecuadamente los tópicos básicos de la Estadística: las variables aleatorias continuas, en particular las variables aleatorias normalmente distribuidas. Los contenidos de Álgebra Lineal, de Cálculo en una y varias variables y la introducción a las Ecuaciones Diferenciales tendrían el cometido de fundamentar la asignatura dedicada específicamente a este último tópico, en la que el estudio profundo de las ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales, la introducción y el estudio de las ecuaciones y sistemas en diferencias y las ecuaciones en derivadas parciales, se articularían a partir de los conceptos de Matemáticas Básicas Instrumentales anteriormente citados.

El enfoque de la asignatura que proponemos consiste en presentar las Matemáticas como una materia instrumental en la Titulación, presentando los contenidos conforme motivamos su necesidad e ilustrando su utilidad con ejemplos próximos a su titulación, siempre que sea posible. La mayor parte de los bloques de la asignatura se inicia con la presentación de contenidos que se pueden encontrar en las asignaturas de Matemáticas de Bachillerato. Este esfuerzo sirve para resaltar las ideas y técnicas clave para los alumnos que ya los conocen, mientras que constituyen una introducción a los mismos para los alumnos que no han cursado asignaturas de Matemáticas en Bachillerato. Estos últimos alumnos deberán profundizar más en ellos, de manera individual a partir de una bibliografía adecuada, compensando así las carencias matemáticas que tienen. Una vez que los alumnos están igualados en los conocimientos fundamentales, sobre éstos se presentan los conocimientos matemáticos específicos de la Universidad. De esta manera cumplimos con uno de los objetivos del Grado: que los conocimientos del título arranquen de los conocimientos de la enseñanza secundaria y que alcancen el nivel adecuado a la titulación en que se impartan. Además, este modo de proceder influirá positivamente en los índices de calidad del título en cuestión.

Para la correcta asimilación de los contenidos de la asignatura y la adquisición de las destrezas de cálculo que estos conceptos involucran nos basamos en tres pilares:

• Una docencia ágil, en la que se presentan las ideas que dan lugar a los objetos presentados y cómo estas ideas se concatenan unas con otras. Como material de apoyo para esta docencia recomendamos una bibliografía adecuada a los contenidos descritos (que incluya una presentación detallada de los conocimientos matemáticos del Bachillerato). Nosotros, a partir de estas premisas hemos elaborado un libro de texto [3], que parte de los contenidos del Bachillerato, contiene todos los temas listados anteriormente y establece conexiones con tópicos que están fuera de la asignatura, en particular con temas propios de las asignaturas de Métodos Numéricos y Estadística y Ecuaciones Diferenciales.
• La introducción desde el inicio de la asignatura de un software matemático de carácter simbólico que permita a los alumnos llevar a cabo todas las técnicas de cálculo que se presentan a lo largo de la asignatura. Nuestra elección para este software es Maxima [4], debido a su facilidad de uso y a sus grandes capacidades de representación gráfica y de cálculo. Además su carácter libre permite su uso sin ningún tipo de restricción por parte de alumnos y profesores. Sin duda, la introducción de un software matemático de estas características redunda en el enfoque práctico e instrumental de la asignatura dentro del título.
• El uso de un portal web de apoyo a la docencia presencial es una herramienta muy útil para que los alumnos puedan tener acceso a información complementaria, puedan intercambiar material que ellos elaboren y disponer de un sitio web para colgar las prácticas y el material generado con el software matemático.

A partir de estos pilares, la transición a una docencia semipresencial no basada completamente en clases magistrales resultará bastante fácil.

Esta propuesta se basa en nuestra experiencia en la docencia de las asignaturas de Matemáticas I y II y Ecuaciones diferenciales de la Licenciatura de Biotecnología de la Universidad de León. Queremos finalizar este trabajo con la inclusión de los resultados que hemos obtenido en dichas asignaturas, presentando algunos índices similares a los que introduce la nueva legislación.

Estos porcentajes nos indican que nuestra propuesta es absolutamente viable y que nuestra línea de trabajo es acertada.

Agradecimientos

Queremos agradecer al Dr. Ángel A. Juan y a la Dra. María Antonia Huertas su invitación a la elaboración y redacción de este artículo, agradecimiento que también queremos extender a todo el equipo de investigadores del proyecto “E-learning de las Matemáticas en las Universidades Españolas: Tendencias tecnológicas emergentes y adaptación al nuevo Espacio Europeo de Educación Superior”.

Bibliografía

1. Real Decreto 1393/2007, de 29 de octubre, por el que se establece la ordenación de las enseñanzas universitarias oficiales (B.O.E., martes 30 de octubre 2007, pp. 44037-44048).
2. Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas (B.O.E., martes 6 de noviembre 2007, pp. 45381-45477).
3. Matemáticas Básicas Instrumentales. M. Carriegos Vieira, A. de Francisco Iribarren, R. Santamaría Sánchez. Universidad de León. Secretariado de Publicaciones (2006). ISBN: 84-9773-319-3.
4. Página web del proyecto MAXIMA: http://maxima.sourceforge.net/ (última consulta marzo de 2008).
5. Protocolo de evaluación para la verificación de títulos universitarios oficiales (grado y máster). Agencia Nacional de Evaluación de la Calidad y Acreditación.

(http://www.aneca.es/active/docs/verifica_protocoloyplantilla_gradomaster_080218.pdf)