Enseñanza y aprendizaje de la estadística en

ingeniería basada en casos prácticos con

una aplicación al proceso de Poisson 

Clemente A. Campos
CPS de Ingenieros
Universidad de Zaragoza
Esta dirección de correo electrónico está protegida contra los robots de spam, necesita tener Javascript activado para poder verla

Resumen

El propósito de este trabajo consiste en servir de orientación en el aprendizaje en las técnicas y metodologías estadísticas aplicadas en el ámbito de las diferentes titulaciones de Ingeniería. Los objetivos que se consideran están auspiciados por las implicaciones que conlleva el Espacio Europeo de Educación Superior (EEES). Se considera una metodología de enseñanza y aprendizaje de Estadística en Ingeniería que constituye un cambio en la concepción de la metodología docente usualmente empleada en la universidad española con la finalidad última de alcanzar una mejora en la calidad de la enseñanza.

Para trabajar con datos reales se tienen en cuenta los conocimientos que poseen los estudiantes de informática y en el manejo y utilización de programas de ordenador de tipo general (como son, por ejemplo, EXCEL, MATLAB o MAPLE) y algún programa estadístico (en nuestro caso, MINITAB) junto con conocimientos y habilidades que han adquirido en asignaturas ya cursadas previamente, como son Informática y Matemáticas, que aportan gran valor y utilidad para la enseñanza de Estadística en la ingeniería.

El objetivo es lograr una mejor enseñanza de la Estadística en la Ingeniería basada en la resolución de problemas y casos prácticos con datos reales de diversos aspectos del ámbito de la tecnología y las ciencias, para así potenciar los factores que condicionan positivamente el aprendizaje al colocar a los estudiantes ante casos y problemas relativos al mundo de la Técnica y de la Ciencia.

Finalmente se incluye una aplicación realizada en el estudio del proceso de Poisson, de gran importancia práctica en el mundo de la Ingeniería.

Keywords

Software matemático-estadístico, docencia en ingeniería, enseñanza de la estadística y la investigación operativa, estudio de casos, Aragón.

Introducción

La enseñanza-aprendizaje de la Estadística en Escuelas de Ingeniería es un proceso dirigido a la adquisición por los alumnos de conocimientos científicos, prácticos y útiles que se acumulen en sus experiencias de modo que les capaciten para afrontar con éxito los futuros cambios y avances en la tecnología, aspecto de gran relevancia práctica, tanto personal como social, debido al continuo avance e innovación tecnológica, como se indica en Campos et al. (2007 a y 2007 b).

Para poder tratar con la incertidumbre existente en todo proceso de índole estadística, se hace necesario estimar a partir de las muestras un modelo de tipo estadístico que defina al proceso del que proceden los datos. Además el aprendizaje estadístico basado en datos reales va a permitir cuantificar claramente aspectos como la capacidad de generalización del sistema por parte del alumno. Este modelo estadístico del proceso construido a partir de casos prácticos puede servir tanto para realizar una tarea de interés en Ingeniería como para conseguir un mejor entendimiento de los datos disponibles y, por tanto, del proceso tecnológico que los ha generado. Acerca del modo en que los estudiantes aprenden Estadística es de interés el trabajo de Gelman (2006), mientras que Vardeman (1994) propone dirigir la enseñanza de Estadística hacia la resolución de problemas y casos prácticos.

Hay que tener presente que la enseñanza de la Estadística en escuelas de Ingenieros presenta diversos condicionantes y dificultades que limitan la asimilación y destreza en el uso de las técnicas Estadísticas por los alumnos (falta de uso de terminología estadística, bajos niveles de motivación, ...).

Así pues, las primeras cuestiones sobre las que hemos reflexionado al plantear la nueva metodología de
enseñanza-aprendizaje son las siguientes:

1. Qué supone el EEES en las titulaciones de Ingeniería, tanto en disciplinas pre-tecnológicas, como
es el caso de la Estadística, Control Estadístico de la Calidad, Fiabilidad, Regresión y Diseño de Experimentos o el caso de asignaturas de Máster de Ingeniería Biomédica (como Bioestadística).
2. Procedimientos que constituyan una herramienta eficaz de aprendizaje para el alumno: grupos de alumnos que trabajen conjuntamente, fomentar el interés de los alumnos y potenciar sus capacidades, …
3. Oportunidades de mejora, aplicabilidad, profundización, ...
4. Inconvenientes para profesores y alumnos, necesidades de laboratorios de prácticas, de ordenadores y de programas estadísticos, ...

El Espacio Europeo de Educación Superior, los nuevos títulos y planes de estudios implican una nueva labor de los profesores y alumnos universitarios: lograr que el estudiante sea capaz de un buen procesamiento y posterior aplicación de los datos, como se señala en Arízaga y Ramírez (2005).

Aprendizaje de la Estadística

A partir de unos datos experimentales o de ejemplos asociados al sistema o problema que se quiere analizar se ha de establecer un modelo teórico de comportamiento que se quiere modelar. Este conocimiento teórico debe ser impartido en paralelo con el estudio y resolución de los casos prácticos considerados. Como nuestro deseo es que el alumnado adquiera un aprendizaje significativo, nos hemos propuesto incidir en nuevas metodologías didácticas en la impartición de esta asignatura de Estadística en consonancia con Garfield (1995).

Se han analizado aquellos conceptos que según nuestra experiencia ofrecerán mayores dificultades al estudiante, con el propósito de reflexionar acerca de los medios más adecuados para reducir estas dificultades (por ejemplo, bibliografía adecuada, ejercicios ilustrativos o el diseño de trabajo con ordenador). Hemos hecho uso intensivo del programa estadístico MINITAB y de las enormes posibilidades estadísticas del programa MATLAB, muy difundido entre los estudiantes de Ingeniería en la Universidad de Zaragoza. Se trata de alcanzar unos objetivos que persiguen la adquisición por los alumnos de las capacidades siguientes:

1.   Aplicar conocimientos de Estadística.
2.   Diseñar y realizar experimentos así como analizar e interpretar datos.
3. Diseñar un sistema, componente o proceso que deba cumplir ciertas necesidades o requerimientos.
4.   Trabajar en equipos multidisciplinares.
5.   Detectar, identificar, formular y resolver problemas de índole estadística en Ingeniería.

Aplicación

Se desarrollan a continuación como ilustración, una aplicación llevada a cabo con la participación activa de los alumnos en todos los aspectos relevantes, referente al estudio de un modelo estocástico de Poisson, muy frecuente e importante en la Ingeniería y de gran importancia en Calidad y Fiabilidad. Todo el trabajo realizado es aplicable, con ligeras variantes, en otros diferentes contextos donde sea de aplicación el proceso de Poisson.

Se utilizan métodos estadísticos para el estudio de la intensidad de tráfico de vehículos industriales en un punto de una autopista en la ronda Norte de Zaragoza. El periodo analizado va entre las 11 y las 13 horas de días laborables (lunes a viernes). Se comentó con los alumnos la experiencia y se supuso homogeneidad del flujo de vehículos industriales en el tiempo, sin retenciones, dentro del período analizado y que hay independencia estadística entre las variables aleatorias que miden o cuentan el número de vehículos industriales que pasan por el punto elegido en intervalos de tiempo distintos. Así se llegó a establecer que

 
donde{N(t), t > 0} es un proceso de recuentos que representa el número de vehículos industriales que pasaban por el punto considerado en el intervalo temporal ( 0, t ] y λ > 0 es la intensidad del tráfico de estos vehículos. El proceso de recuentos N(t) resulta ser un proceso de renovación, que es una cadena de Markov en tiempo continuo. Es decir, el proceso aleatorio que explica el flujo de vehículos por un punto, se renueva probabilísticamente: desde cualquier instante en adelante, lo que suceda es independiente de lo que ha ocurrido previamente.

Se estableció el modelo para el tráfico de vehículos, se presentaron los datos experimentales obtenidos y se realizó el ajuste estadístico del modelo teórico. Se comprobó que dicho ajuste es satisfactorio por lo que se concluyó la validez del modelo propuesto. En concreto, con los alumnos se establecieron y consideraron la trascendencia, interés y significado de los postulados de Poisson:

(P1) En el transcurso del tiempo, los incrementos de N(t) son unitarios.
(P2) La variable aleatoria N(t + h) − N(t) es independiente de { ( ), }, 0 0 N t t ≤ t para todo h > 0.
(P3) Las variables aleatorias ( ) ( ) 1 1 N t + h − N t y ( ) ( ) 2 2 N t + h − N t están idénticamente distribuidas, cualquiera que sea el valor de h > 0.

Por tanto, los alumnos pueden obtener y entender las propiedades del proceso de Poisson con tasa λ , que permite establecer para el proceso del tráfico de vehículos industriales,{N(t), t > 0}, los resultados correspondientes al proceso de Poisson.

Para realizar un contraste de validez del modelo propuesto para el estudio del tráfico de vehículos industriales, se realizó la toma experimental de datos. Durante los días 8, 9, 10 y 11 de noviembre de 2005 se contaron los vehículos industriales que pasan por un punto fijo de la autopista en la ronda Norte a su paso por Zaragoza en el sentido Este a Oeste. La experiencia se realizó entre las 11 y las 13 horas de dichos días y se consideraron 740 intervalos temporales de duración común 15 segundos, que a efectos del análisis del ajuste del modelo es la unidad de tiempo (es decir, 1u.t. = 15 segundos). Se observó el paso de 2102 vehículos industriales. Los datos observados se recogen en la columna correspondiente a las observaciones en la Tabla 1, donde también figuran las frecuencias relativas correspondientes.

Se estimó el valor de la tasa del proceso de Poisson por el valor medio muestral 

vehículos industriales/u.t.

 La probabilidad teórica según el modelo de Poisson considerado, se calcula por medio de la ecuación

que representa la probabilidad de observar el paso de k vehículos industriales en durante un intervalo unitario de 15 segundos, si la intensidad de tráfico de tales vehículos es de λ = 2.84 vehículos industriales/u.t. Las probabilidades obtenidas se recogieron en la columna correspondiente a las observaciones en la Tabla 1, donde figuran además las frecuencias absolutas esperadas según el modelo propuesto.

Se aplicó el contraste de bondad de ajuste de la 2 χ y el p-valor del contraste es 0.1221. Con ello se aceptó el modelo de Poisson como válido, porque las discrepancias no son consideradas como significativas. En la Figura 1 se comparan visualmente los valores observados y los ajustados con el modelo propuesto.

En definitiva, se realizó un estudio estadístico del tráfico de vehículos industriales que pasan por un punto fijo y determinado de una vía de circulación y se encuentra que en condiciones razonables y bastante generales, el número de vehículos industriales que pasan por ese punto considerado en el intervalo temporal ( 0, t ], que denotamos por N(t), es un proceso de Poisson con tasa o intensidad de tráfico estimada por el valorλ = 4 ⋅ 2.84 = 11.36 vehículos industriales/minuto. Por tanto, los intervalos de tiempo entre el paso de dos vehículos consecutivos son variables aleatorias {T ,n =1, 2,...} n independientes e idénticamente distribuidas, con distribución exponencial cuya función de densidad es t f t e λ λ − ( ) = , t > 0 . 

El tiempo medio entre el paso de dos de estos vehículos consecutivos se estimó, por tanto, en =1/11.36 = 0.0880 min = 5.28 s μ . La probabilidad de que en un intervalo de tiempo ( t,t + h ], en minutos, no pase ningún vehículo es, por tanto,

También considerábamos, por su gran interés en Fiabilidad, la variable aleatoria que indica el tiempo de espera hasta el paso del n -ésimo vehículo, n n S = T +T +...+T 1 2 , con distribución de Erlang, es decir, que la probabilidad de que el n -ésimo vehículo pase después del instante t será

Por tanto, calculábamos el tiempo medio de espera hasta el paso, por ejemplo, del quinto vehículo,  minutos y también la probabilidad de que el tiempo transcurrido, por ejemplo, entre el paso del tercero y el noveno vehículo sea superior a 30 segundos, que es

Se consideró que el proceso de Poisson {N(t), t > 0}con intensidad de tráfico λ es un modelo que explica el flujo de vehículos industriales por un punto y que además se puede descomponer dicho flujo clasificando dichos vehículos en dos clases C1 (por ejemplo, vehículos de 5 ejes o más) con probabilidad p y C2 (los demás vehículos industriales) con probabilidad 1− p y se indicó con ( ) 1 N t y ( ) 2 N t el número de vehículos de cada clase que pasan en el intervalo temporal ( 0, t ], entonces el tráfico de cada clase de estos vehículos se puede representar por los procesos de Poisson { ( ), 0} 1 N t t > y { ( ), 0} 2 N t t > , que tienen intensidades de tráfico λp y λ (1− p) respectivamente. Además estos dos procesos son independientes. Puesto que 1 2 N(t) = N (t) + N (t) , consideramos que se puede analizar el flujo de vehículos según diferentes clases, a cada una de las cuales se les puede aplicar el tratamiento anteriormente expuesto para una clase. Además cada una de estas clases serán independientes.

Finalmente, es importante señalar que analizamos la generalización del estudio del tráfico con modelos aleatorios para los cuales la intensidad de tráfico varía con el tiempo, y por tanto, en el proceso de recuento de vehículos se permitiría que la intensidad de tráfico varíe con el tiempo,λ (t) . Si no se conoce la expresión funcional deλ (t) y se considera que λ (t) ≤ λ es una función acotada, es de aplicación el modelo aleatorio del proceso de Poisson no homogéneo y basta considerar que el paso de un vehículo es contado con probabilidadλ (t) /λ , en tal caso, el proceso de recuentos es un proceso de Poisson no homogéneo con intensidad λ (t) .

Referencias Bibliográficas 

Arízaga, J. L. Ramírez (Eds.) (2005). Guía de adaptación al EEES. Ed. Universidad de Cantabria

Campos, C. A. et al. (2007a): Una experiencia de adaptación al EEES de estudios de Estadística en la Ingeniería. I Jornadas de Innovación Docente, Tecnologías de la Información y la Comunicación e Investigación Educativa en la Universidad de Zaragoza. Zaragoza, 23-24 de Noviembre, 2006. Publicado en Innovación docente, tecnologías de la información y la comunicación e investigación educativa en la Universidad de Zaragoza. Sec. II-28. 2007.

Campos, C. A. et al. (2007b): Aprender practicando. I Jornadas de Innovación Docente, Tecnologías de la Información y la Comunicación e Investigación Educativa en la Universidad de Zaragoza. Zaragoza, Spain. November 23-24, 2006. Publicado en Innovación docente, tecnologías de la información y la comunicación e investigación educativa en la Universidad de Zaragoza. Caminando hacia Europa. 2007.

Garfield, J. (1995). How students learn statistics. International Statistical Review, 63, 25-34.

Gelman. A. (2006) A Course on Teaching Statistics at the University Level, American Statistician,4-7.

Vardeman, S.B. (1994). Statistics for engineering problem solving. Boston, USA: PWS Publishing Company.