Sabem que el mètode de Gauss per a resoldre un sistema d'equacions modifica el sistema d'equacions original a fi d'aconseguir eliminar certs coeficients. El mateix procés pot realitzar-se matricialment, seguint exactament els mateixos passos, però sense haver d'escriure les incognites. Aquest és l'únic avantatge del mètode de Gauss amb matrius. Per a això s'utilitza la matriu ampliada. Cal recordar que:

• Es poden intercanviar files de la matriu, perquè representen equacions que també poden intercanviar-se.
• Poden intercanviar-se columnes, tenint en compte que cada columna representa els coeficients d'una variable concreta. Per tant, al final hauríem d'associar la solució a la variable correcta.

Per exemple, donat aquest sistema,

$\{\begin{array}{c}x\\ 2x\\ \\ \end{array}\begin{array}{c}-\\ -\\ \\ \end{array}\begin{array}{c}y\\ 2y\\ y\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ +\\ \\ \end{array}\begin{array}{c}\\ z\\ \\ 2z\end{array}\begin{array}{c}\\ +\\ +\\ +\end{array}\begin{array}{c}\\ 2w\\ w\\ w\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\\ 5.\end{array}$

les transformacions que provoca el mètode de Gauss en la seva matriu ampliada poden seguir-se en aquesta seqüència (els espais en blanc de la matriu substitueixen zeros):

El sistema resultant, sobre el qual s'aplicarà la substitució cap enrere, és el següent:

$\{\begin{array}{c}x\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}-\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}y\\ y\\ \\ \end{array}\begin{array}{c}\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}\\ \\ z\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ w\\ 2w\\ -3w\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\\ -3\end{array}$